Al-Kashi

En 1427, Al-Kashi, mathématicien persan de la tradition scientifique arabe, rassemble dans La clé de l'arithmétique des techniques de calcul qui feront référence pendant des siècles. Il travaille notamment sur les fractions décimales, les racines et une approximation très précise de π.

Son nom reste surtout attaché à une règle pour les triangles. Quand deux côtés et l'angle qu'ils forment sont connus, la loi des cosinus donne le troisième côté. Le théorème de Pythagore en est le cas particulier où cet angle est droit.

Al-Kashi, aussi nommé Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashani, est un mathématicien persan ayant vécu vers 1350-vers 1435. Il appartient à la tradition scientifique arabe. Son Miftah al-hisab, ou La clé de l'arithmétique, daté de 1427, traite notamment des fractions décimales, des racines n-ièmes et du triangle arithmétique. Il y donne aussi une excellente approximation de π par une méthode de périmètres exprimés en base 60.

En géométrie, son nom désigne le théorème d'Al-Kashi, également appelé loi des cosinus. Dans un triangle, la longueur du côté opposé à un angle est notée a. Les deux côtés qui forment cet angle sont notés b et c, et la mesure de l'angle est notée A. La relation est :

Cette relation vaut pour tout triangle non dégénéré. Si l'angle A mesure 90°, son cosinus vaut 0 : la relation devient a² = b² + c², qui est le théorème de Pythagore. Al-Kashi a également laissé des formules métriques et des problèmes restés ouverts à son époque.

Considérons un triangle dont deux côtés mesurent 5 cm et 7 cm. L'angle compris entre eux mesure 60°. La longueur inconnue, opposée à cet angle, est notée a. Les données sont donc b = 5 cm, c = 7 cm et A = 60°.

1. On applique la loi des cosinus :
$a^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7\cos ({60}^{\circ })a^2=5^2+7^2-2\backslash times5\backslash times7\backslash cos(60^\backslash circ)$

2. Comme le cosinus de 60° vaut exactement 1/2, le carré de la longueur cherchée vaut :
$a^2=25+49-70\times \frac{1}{2}=39a^2=25+49-70\backslash times\backslash frac\{1\}\{2\}=39$

3. La longueur est positive, donc $a=\sqrt{39}\mathrm{c}\mathrm{m}\approx \mathrm{6,24}\mathrm{c}\mathrm{m}a=\backslash sqrt\{39\}\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}\backslash approx6\{,\}24\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$. Le résultat est arrondi au centième.

Le contrôle repose sur l'inégalité triangulaire : 7 − 5 < 6,24 < 7 + 5. La longueur obtenue est donc compatible avec les deux autres côtés. En remplaçant 6,24 par la valeur exacte √39, son carré redonne bien 39.

Pour calculer un côté d'un triangle quelconque, on relève deux côtés et l'angle compris entre eux. La loi des cosinus est adaptée lorsque l'angle n'est pas nécessairement droit ; avec 5 cm, 7 cm et 60°, elle donne √39 cm.

Pour vérifier si un triangle est rectangle, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Si l'égalité est observée, le théorème de Pythagore suffit ; sinon, la loi des cosinus permet de retrouver l'angle correspondant.

Dans l'histoire du calcul, Al-Kashi offre aussi un point d'entrée vers les fractions décimales, les racines n-ièmes, le triangle arithmétique et les approximations de π par des périmètres. Ces thèmes dépassent donc le seul théorème qui porte aujourd'hui son nom.

Théorème d'Al-Kashi et théorème de Pythagore. Le premier relie les trois côtés et un angle d'un triangle quelconque. Le second exige un triangle rectangle. Avec un angle de 60°, le terme contenant le cosinus ne s'annule pas : il faut employer la loi des cosinus.

Al-Kashi et le théorème d'Al-Kashi. Al-Kashi est le savant persan présenté dans cette fiche ; le théorème est l'une des relations géométriques associées à son nom. Parler de ses travaux sur les fractions décimales ou sur π renvoie à la personne et à son œuvre, pas à la seule loi des cosinus.

Angle droit. À 90°, le cosinus vaut 0. Le terme −2bc cos(A) disparaît : la loi des cosinus se réduit exactement au théorème de Pythagore. Ce n'est pas une formule concurrente, mais un cas particulier.

Angle mal choisi. Dans la formule a² = b² + c² − 2bc cos(A), l'angle A doit être opposé au côté a et compris entre les côtés b et c. Si les étiquettes ne respectent pas cette correspondance, le calcul vise un autre côté.

Arrondi prématuré. Dans l'exemple, √39 cm est exact tandis que 6,24 cm est un arrondi au centième. Pour contrôler le calcul ou poursuivre une opération, il faut conserver √39 ou davantage de décimales.

Triangle dégénéré. Si un côté égale la somme des deux autres, les trois sommets sont alignés et il n'y a plus de triangle non dégénéré. La loi reste une identité limite pour un angle de 0° ou 180°, mais elle ne décrit plus une surface triangulaire.

Le théorème de Pythagore permet d'étudier en détail le cas rectangle contenu dans la loi des cosinus.

La fiche Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente une autre manière d'approcher π et éclaire, par contraste, l'intérêt des méthodes d'approximation.

La notion d'arithmétique replace les fractions décimales, les racines et les techniques de calcul d'Al-Kashi dans leur domaine commun.