résolution d'un triangle

Imaginez un terrain triangulaire dont on connaît seulement trois mesures bien choisies. Résoudre ce triangle, c’est retrouver les longueurs, les angles et l’aire qui manquent, sans avoir à tout mesurer directement.

Le choix de l’outil dépend des données disponibles. Trois côtés orientent vers le théorème d’Al-Kashi et la formule de Héron ; un côté et des angles font intervenir la formule des sinus. Une dernière vérification contrôle que les trois angles totalisent 180° dans le plan.

Résoudre un triangle consiste à déterminer ses trois longueurs, ses trois angles et son aire à partir de données suffisantes et compatibles. Dans un triangle euclidien, les côtés de longueurs a, b et c sont placés en face des angles respectifs A, B et C. Une longueur au moins est nécessaire pour fixer l’échelle ; trois angles seuls ne déterminent que la forme.

Les données doivent aussi déterminer un triangle de façon unique. Trois côtés respectant les inégalités triangulaires conviennent, tout comme deux côtés et l’angle compris, ou un côté et deux angles. En revanche, deux côtés et un angle non compris peuvent conduire à deux triangles différents, à un seul ou à aucun.

Le théorème d’Al-Kashi relie trois côtés à un angle, la formule des sinus relie chaque côté au sinus de l’angle opposé et la formule de Héron donne l’aire à partir des trois côtés. La somme $A+B+C=\pi A+B+C=\backslash pi$ complète les calculs dans le plan euclidien. Le triangle rectangle dispose de formules spécifiques. Sur une sphère, la somme des angles dépasse π et ces relations doivent être remplacées par leurs versions sphériques.

Dans un triangle euclidien, on note a, b et c les longueurs opposées aux angles A, B et C. Si les données déterminent un triangle unique, on choisit une relation adaptée, puis on calcule les éléments inconnus et l’aire.

Le calcul s’arrête lorsque les trois côtés, les trois angles et l’aire sont connus, puis contrôlés par la somme des angles et la compatibilité des longueurs.

Ces méthodes s’appliquent à un triangle du plan euclidien dont les données sont compatibles. Il faut connaître au moins une longueur et assez d’éléments indépendants pour fixer la forme et l’échelle. Pour trois côtés, chacun doit être strictement inférieur à la somme des deux autres.

Trois angles, même connus exactement, ne suffisent pas : tous les triangles semblables partagent ces angles, mais peuvent avoir des tailles différentes. Deux côtés et un angle non compris ne garantissent pas non plus l’unicité ; il faut alors tester l’existence de zéro, un ou deux triangles avant de poursuivre. Sur une sphère, les hypothèses euclidiennes échouent et les formules sphériques adaptées à la courbure sont nécessaires.

On considère un triangle dont les trois côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm. Il faut retrouver ses angles et son aire.

1. Le plus grand angle est opposé au côté de 5 cm. Le théorème d’Al-Kashi donne :
$\cos C=\frac{3^2+4^2-5^2}{2\times 3\times 4}=0\backslash cos\; C=\backslash frac\{3^2+4^2-5^2\}\{2\backslash times3\backslash times4\}=0$. Ainsi, l’angle C mesure exactement 90°.

2. La formule des sinus donne ensuite $\sin A=\frac{3}{5}\backslash sin\; A=\backslash frac\{3\}\{5\}$. L’angle opposé au côté de 3 cm mesure donc environ 36,87°.

3. Le dernier angle vaut environ 180° − 90° − 36,87° ≈ 53,13°. Comme le triangle est rectangle, son aire vaut exactement (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm².

Le contrôle est double : 3² + 4² = 5², et les angles arrondis totalisent 180°. On a bien déterminé les six éléments du triangle et son aire.

En cartographie, des longueurs et des directions observées servent à compléter des triangles. Lorsque plusieurs triangles sont enchaînés pour localiser des points, la triangulation est préférable à la résolution isolée d’un seul triangle.

En géodésie, le même principe relie des mesures prises depuis différents points. Dès que la courbure terrestre ne peut plus être négligée, le modèle sphérique remplace le modèle euclidien.

En navigation, une longueur connue et des angles permettent d’obtenir des distances ou des positions difficiles à mesurer directement. Avant tout calcul, le bon réflexe consiste à identifier les données disponibles et à vérifier qu’elles fixent un triangle unique.

Résolution d’un triangle et triangulation. La première complète tous les éléments d’un triangle à partir de données suffisantes. La seconde organise plusieurs triangles pour déterminer des positions ou des distances : un réseau de points à localiser relève de la triangulation.

Théorème d’Al-Kashi et formule de Héron. Al-Kashi relie côtés et angles ; Héron calcule uniquement l’aire à partir des trois côtés. Si l’inconnue est un angle, Héron ne remplace donc pas Al-Kashi.

Trois données ne garantissent pas toujours une solution unique. Avec deux côtés et un angle non compris, le calcul peut produire zéro, un ou deux triangles. Il faut tester l’existence et l’unicité au lieu de retenir automatiquement la première valeur d’angle obtenue.

Le cas dégénéré n’est pas un triangle usuel. Pour des longueurs 2, 3 et 5, la somme des deux plus petites égale la plus grande : les sommets sont alignés et l’aire vaut 0. Les inégalités triangulaires doivent être strictes.

Les arrondis peuvent fausser le contrôle. Dans l’exemple, 36,87° et 53,13° sont des approximations. Il vaut mieux conserver davantage de chiffres pendant le calcul et n’arrondir que le résultat final.

La somme de 180° est euclidienne. Dans un triangle sphérique, la somme des angles est strictement supérieure à 180°. Employer les formules planes donne alors un résultat incohérent ; il faut utiliser la trigonométrie sphérique.

Le théorème d’Al-Kashi détaille la relation entre trois côtés et un angle, utile pour choisir ou vérifier un calcul de résolution.

La formule des sinus montre comment exploiter une paire côté-angle connue pour compléter les autres paires.

La formule de Héron fournit l’aire lorsque les trois longueurs sont connues, sans calcul préalable d’un angle.

La méthode de triangulation prolonge la résolution d’un triangle vers la détermination de positions au sein d’un réseau.