triangle sphérique

Imaginez trois points distincts posés sur un globe, sans que deux d’entre eux soient diamétralement opposés ni que les trois soient situés sur un même grand cercle. Reliez chaque paire par l’arc le plus court du grand cercle qui les porte, comme l’équateur ou un méridien, plutôt qu’en traversant l’intérieur de la sphère. Les trois arcs enferment alors le triangle sphérique usuel.

Sa courbure change une règle familière : ses trois angles totalisent plus de 180°. Ce supplément, appelé excès sphérique, mesure directement l’aire lorsque le rayon de la sphère sert d’unité.

Sur une sphère, un triangle sphérique est délimité par trois arcs de grands cercles qui joignent trois sommets distincts A, B et C, non antipodaux deux à deux. Pour le triangle usuel, on choisit les arcs les plus courts. Le côté opposé à A est noté a, celui opposé à B est noté b et celui opposé à C est noté c. Lorsque le rayon vaut une unité, la longueur de chaque côté est égale à la mesure en radians de l’angle au centre qui intercepte cet arc : a correspond à l’angle BOC, b à COA et c à AOB, où O est le centre de la sphère.

L’angle en un sommet est l’angle intérieur de la région triangulaire choisie, mesuré entre les demi-tangentes aux deux côtés issues de ce sommet. Les trois côtés et les trois angles constituent les six éléments du triangle. Des données indépendantes suffisantes permettent de retrouver les éléments inconnus avec les relations de trigonométrie sphérique.

Pour un triangle non dégénéré formé avec les arcs usuels les plus courts, la somme des angles est comprise strictement entre π et 3π. Si les angles aux sommets A, B et C sont notés respectivement $\tilde{A}\backslash widetilde\; A$, $\tilde{B}\backslash widetilde\; B$ et $\tilde{C}\backslash widetilde\; C$, l’excès sphérique E est donné par $E=\tilde{A}+\tilde{B}+\tilde{C}-\pi E=\backslash widetilde\; A+\backslash widetilde\; B+\backslash widetilde\; C-\backslash pi$. Sur la sphère unité, la formule de Girard identifie cet excès à l’aire du triangle.

Le support est d’abord une sphère de centre O. Trois points distincts A, B et C, non antipodaux deux à deux, en sont les sommets. Chaque paire de sommets détermine le grand cercle qui porte un côté ; les trois côtés sont les arcs AB, BC et CA choisis sur ces cercles. Enfin, à chaque sommet, les demi-tangentes aux deux côtés délimitent l’angle intérieur de la région triangulaire choisie.

Les côtés dépendent donc à la fois des sommets et du choix des arcs. Les angles dépendent des deux côtés qui se rencontrent. La taille du dessin ou son orientation dans l’espace ne change pas ces six éléments. Une fois assez d’éléments indépendants connus, les relations sphériques permettent de calculer les autres et l’excès donne accès à l’aire.

Prenons une sphère de rayon unité. Les sommets A, B et C sont choisis de sorte que les trois rayons OA, OB et OC soient perpendiculaires deux à deux. Les données sont donc trois angles au centre droits, soit π/2 radians chacun.

1. Chaque côté est le quart d’un grand cercle. Comme le rayon vaut une unité, les trois longueurs sont $a=b=c=\frac{\pi }{2}a=b=c=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$.

2. Les grands cercles se coupent à angle droit aux trois sommets. Les trois angles au sommet valent donc eux aussi π/2.

3. Additionnons les angles, puis retranchons π pour obtenir l’excès sphérique :

4. La formule de Girard donne donc une aire égale à π/2 unité carrée. Pour contrôler le calcul, on ajoute π à l’excès trouvé : π + π/2 redonne bien la somme initiale 3π/2, strictement comprise entre π et 3π.

Pour déterminer un triangle tracé sur une sphère, on relève des côtés comme distances angulaires en radians et des angles formés par les tangentes. Les relations de trigonométrie sphérique conviennent parce que les côtés suivent des grands cercles ; les relations planes ne conviennent pas à cette surface courbe.

Pour calculer une aire sur la sphère unité, on additionne les trois angles et on retire π. Si la somme obtenue ne dépasse pas π pour un triangle non dégénéré, les données, les unités ou le choix des arcs doivent être vérifiés.

Triangle plan. Ses côtés sont des segments contenus dans un plan et la somme de ses angles vaut π. Un triangle dont les côtés suivent la surface d’une sphère et dont la somme des angles dépasse π est sphérique, pas plan.

Figure à trois arcs quelconques sur une sphère. Trois arcs peuvent enfermer une région sans former un triangle sphérique au sens retenu ici. Le critère décisif est que chacun des trois arcs appartienne à un grand cercle.

Cas dégénéré. Si les trois sommets appartiennent au même grand cercle, les arcs n’enferment pas une région triangulaire non dégénérée. L’excès peut alors atteindre la valeur charnière 0, et l’inégalité stricte sur la somme des angles ne s’applique plus.

Choix des arcs. Deux points non antipodaux déterminent deux arcs complémentaires sur un même grand cercle. Pour obtenir le triangle usuel et les bornes π et 3π, on retient les arcs les plus courts. Il faut annoncer un autre choix avant d’appliquer ces propriétés.

Sommets antipodaux. Deux points diamétralement opposés appartiennent à une infinité de grands cercles. Le seul couple de sommets ne détermine donc plus un côté unique ; le cercle porteur doit être précisé ou les sommets doivent être choisis autrement.

La trigonométrie sphérique fournit les relations qui relient les trois côtés et les trois angles afin de résoudre un triangle à partir de données suffisantes.

Le radian précise pourquoi, sur une sphère de rayon unité, une longueur d’arc peut être lue comme la mesure de son angle au centre.