pavage de la sphère

Imaginez une balle entièrement découpée en pièces qui se rejoignent bord à bord. Chaque pièce suit la courbure de la balle : ses côtés sont des arcs tracés sur la sphère, et non des segments posés sur une feuille. Les pièces couvrent toute la surface sans que leurs intérieurs se superposent.

Cette courbure change les angles. Un triangle sphérique peut avoir trois angles droits, situation impossible pour un triangle du plan. Un polyèdre placé autour du même centre donne une manière naturelle de dessiner un tel découpage : on projette ses faces vers la sphère depuis le centre.

Un pavage de la sphère est une famille de polygones sphériques dont la réunion est toute la surface de la sphère et dont les intérieurs sont disjoints. Deux tuiles voisines peuvent partager un côté ou un sommet : l'absence de chevauchement concerne leurs intérieurs. Les côtés sont des arcs de grands cercles dans la convention géodésique usuelle.

La courbure distingue ce pavage d'un pavage plan. Pour un triangle sphérique non dégénéré délimité par les arcs courts de grands cercles, les trois angles, notés α, β et γ, vérifient $\alpha +\beta +\gamma >\pi \alpha +\beta +\gamma >\backslash pi$. Leur excès sur π mesure précisément l'effet de la courbure.

Une construction relie ces découpages aux polyèdres. Depuis un point choisi comme centre commun, chaque point d'une face plane est envoyé sur la sphère le long de la demi-droite issue du centre. Pour que cette projection fournisse bien un pavage, chaque demi-droite doit rencontrer une seule fois la frontière du polyèdre ; c'est notamment le cas lorsque le polyèdre est convexe et contient le centre en son intérieur. Les faces deviennent alors des polygones sphériques. La source distingue en particulier 13 pavages issus des 13 polyèdres de Catalan, avec des tuiles congruentes.

Quatre éléments structurent l'objet. La sphère support fixe la surface à couvrir. Les tuiles sont les polygones sphériques. Leurs côtés, formés d'arcs, séparent deux tuiles voisines. Leurs sommets sont les points où plusieurs côtés se rencontrent.

Les côtés déterminent le contour de chaque tuile, tandis que l'assemblage de tous les contours détermine quelles tuiles sont voisines. La réunion des tuiles doit couvrir la sphère entière et leurs intérieurs doivent rester disjoints. Ces relations suffisent à vérifier le pavage. La couleur, l'orientation de la vue et la taille du dessin ne le définissent pas. Dans une construction par projection centrale, les faces, arêtes et sommets du polyèdre fournissent respectivement les tuiles, leurs côtés et leurs sommets sphériques.

Prenons une sphère de rayon 1 et trois plans passant par son centre, perpendiculaires deux à deux. Chaque plan coupe la sphère suivant un grand cercle. Les données sont donc un centre commun, trois grands cercles perpendiculaires et un rayon égal à 1.

1. Les trois grands cercles partagent la surface en huit régions identiques.
2. Une région est bordée par trois arcs formant chacun un quart de grand cercle et constitue un triangle sphérique.
3. Deux côtés successifs se rencontrent à angle droit : chaque angle vaut π/2.
4. La somme des trois angles vaut donc :

Le résultat confirme la signature sphérique : le triangle possède un excès angulaire égal à π/2. Pour contrôler le découpage, on compte les huit choix possibles de signes autour des trois plans ; ils donnent huit régions sans intérieur commun et couvrent toutes les directions depuis le centre.

Pour construire un pavage à partir d'un polyèdre, on place le centre de projection à l'intérieur puis on suit les demi-droites qui traversent ses faces. Si certaines demi-droites rencontrent plusieurs fois la frontière, cette projection n'est pas adaptée ; un polyèdre convexe évite ce défaut.

Pour contrôler un dessin proposé, on vérifie deux choses : chaque point de la sphère appartient à une tuile, et aucun point intérieur n'appartient à deux tuiles. Les bords communs sont permis ; une superposition de surfaces intérieures ne l'est pas.

Le pavage plan convient à une surface plate. Dès que les côtés et les angles doivent suivre la sphère elle-même, le pavage sphérique est le bon modèle, car il conserve la courbure au lieu de l'aplatir.

Un pavage du plan couvre une surface plate avec des polygones plans. Le test décisif porte sur la géométrie des côtés et des angles : trois angles droits sont impossibles dans un triangle plan, mais apparaissent dans le triangle sphérique de l'exemple.

La surface d'un polyèdre est formée de faces planes, tandis qu'un pavage sphérique vit sur une surface courbe. La projection centrale relie les deux sans les identifier : une face plane devient une tuile sphérique dont les côtés sont des arcs.

Bords partagés. Dire « sans chevauchement » ne signifie pas que les tuiles sont disjointes point par point. Deux tuiles voisines partagent normalement un côté ou un sommet. Il faut tester l'intersection de leurs intérieurs, pas celle de leurs frontières.

Triangle dégénéré. L'inégalité stricte pour la somme des angles suppose un véritable triangle sphérique. Si les trois sommets s'alignent sur un même grand cercle, la région s'écrase et le raisonnement sur l'excès angulaire ne s'applique plus.

Centre de projection mal choisi. Pour un polyèdre non convexe, une demi-droite issue du centre peut couper la frontière plusieurs fois ou manquer la face attendue. Le symptôme est une image superposée ou incomplète. Il faut vérifier l'unicité de l'intersection dans chaque direction, ou choisir un polyèdre convexe contenant le centre.

Arcs ambigus. Deux points non antipodaux d'un grand cercle déterminent un arc court et un arc long. Sans convention, une même suite de sommets peut border des régions différentes. Il faut préciser les arcs retenus ; la convention usuelle choisit les arcs courts.

Le triangle sphérique approfondit la forme élémentaire du pavage et l'effet de la courbure sur la somme de ses angles.

Le polyèdre de Catalan présente la famille de treize polyèdres dont la projection centrale fournit les pavages congruents cités dans la définition.