pavage du plan hyperbolique

Imaginez des carreaux qui couvrent une surface sans trou ni chevauchement. Dans le plan habituel, leur taille paraît uniforme. Dans une représentation en disque du plan hyperbolique, les mêmes carreaux semblent au contraire rétrécir en approchant du bord.

Ce rétrécissement vient du dessin, pas du pavage lui-même : la géométrie hyperbolique donne la même taille aux motifs. Elle offre davantage de place que le plan euclidien et autorise ainsi des assemblages réguliers impossibles sur une feuille plane.

Un pavage du plan hyperbolique est un recouvrement de ce plan par des régions appelées tuiles, sans lacune et sans chevauchement de leurs intérieurs. Les tuiles se rencontrent le long de côtés ou en des sommets. Les longueurs et les angles sont ceux de la géométrie hyperbolique, dont le postulat des parallèles diffère de celui du plan euclidien.

Un pavage régulier noté {p,q} emploie des polygones réguliers à p côtés, avec q polygones autour de chaque sommet. Pour ce type de pavage, le régime hyperbolique est caractérisé par $(p-2)(q-2)>4(p-2)(q-2)>4$. L'égalité correspond au régime euclidien. L'inégalité suppose ici p et q entiers, chacun au moins égal à 3.

Le disque de Poincaré est un modèle de représentation : tout le plan hyperbolique tient à l'intérieur d'un cercle. Il conserve les angles, mais pas les tailles euclidiennes apparentes. Son bord n'appartient pas au plan représenté. Les motifs d'Escher ont rendu célèbre cet effet de répétition vers un bord jamais atteint.

La structure réunit quatre éléments. Le plan hyperbolique fournit les distances et les angles. Les tuiles sont les régions répétées. Leurs côtés forment les frontières communes, et leurs sommets sont les points où plusieurs tuiles se rejoignent.

La forme des tuiles détermine les angles disponibles ; ces angles imposent à leur tour combien de tuiles peuvent entourer un sommet. Dans un pavage bord à bord, chaque côté intérieur est partagé par deux tuiles. La couleur, l'orientation du dessin et la taille apparente dans un modèle ne définissent pas le pavage. Ces données suffisent à décrire l'incidence locale et à tester une configuration régulière {p,q}.

Considérons la configuration régulière {7,3}. Les données sont : p = 7 côtés par tuile et q = 3 tuiles autour de chaque sommet.

1. On applique le critère : $(7-2)(3-2)=5(7-2)(3-2)=5$.

2. Comme 5 est strictement supérieur à 4, cette configuration régulière relève du plan hyperbolique.

3. Trois angles identiques doivent remplir un tour. L'angle intérieur de chaque heptagone vaut donc ${360}^{\circ }\mathrm{/}3={120}^{\circ }360^\backslash circ/3=120^\backslash circ$.

4. Un heptagone régulier euclidien aurait un angle intérieur de $5\times {180}^{\circ }\mathrm{/}7\approx {\mathrm{128,57}}^{\circ }5\backslash times180^\backslash circ/7\backslash approx128\{,\}57^\backslash circ$. Trois tels angles totaliseraient environ 385,71°, donc davantage qu'un tour.

Le contrôle est refaisable : 3 × 120° = 360°. La courbure hyperbolique rend donc possible l'assemblage de trois heptagones réguliers au même sommet.

Pour tester un pavage régulier, on relève p, le nombre de côtés d'une tuile, puis q, le nombre de tuiles au sommet. Si (p − 2)(q − 2) dépasse 4, le cadre hyperbolique est le bon choix ; s'il vaut 4, le cadre euclidien suffit.

Pour dessiner le pavage sur un écran, le disque de Poincaré permet de faire tenir le plan entier dans un cercle. Il faut alors lire les motifs proches du bord comme des copies de même taille hyperbolique, malgré leur rétrécissement apparent.

Pour analyser une œuvre inspirée d'Escher, on observe les répétitions, les contacts entre motifs et leur accumulation vers le bord. Un simple décor qui rapetisse n'est pas suffisant : l'assemblage doit conserver sa règle géométrique.

Pavage hyperbolique et pavage euclidien. Le premier utilise les distances et les angles du plan hyperbolique ; le second ceux du plan ordinaire. Le test {7,3} tranche : il est possible dans le cadre hyperbolique, tandis que trois heptagones réguliers euclidiens dépassent 360° autour d'un sommet.

Pavage et modèle du disque de Poincaré. Le pavage est l'objet géométrique ; le disque est une façon de le représenter. Des tuiles qui paraissent plus petites près du cercle peuvent donc avoir toutes la même taille hyperbolique.

Parallèles et ultraparallèles. Au sens large, des droites hyperboliques parallèles ne se coupent pas dans le plan. Parmi elles, certaines ont un point idéal commun ; les ultraparallèles n'en ont aucun. Préciser la convention évite de confondre l'infinité des non-sécantes avec les deux parallèles limites.

Le bord du disque n'est pas une frontière du pavage. Les tuiles semblent s'y accumuler, mais aucun point du cercle ne fait partie du plan hyperbolique. Il faut interpréter le bord comme l'infini du modèle.

La taille visible n'est pas la taille hyperbolique. Dans le disque de Poincaré, une copie proche du bord paraît minuscule. Comparer les diamètres mesurés à la règle dans l’illustration donnerait donc un faux verdict ; les distances doivent être lues avec la métrique hyperbolique.

Le critère (p − 2)(q − 2) > 4 ne traite que les pavages réguliers {p,q}. Il ne suffit pas pour classer un assemblage de plusieurs formes ou un motif irrégulier. Dans ce cas, il faut examiner séparément les angles et les règles d'incidence.

Le mot « parallèle » dépend de la convention. Si l'on réserve ce nom aux parallèles limites, il n'en passe que deux par le point extérieur. L'infinité énoncée dans la définition source emploie le sens large de droites non sécantes.

Le pavage équilatéral permet de comparer le rôle de tuiles aux côtés égaux dans un autre cadre de pavage.

On peut ensuite étudier comment les modèles du plan hyperbolique conservent certaines propriétés, comme les angles dans le disque de Poincaré, tout en déformant les tailles visibles.