pavage semi-régulier

Imaginez un sol couvert sans trou ni chevauchement par des triangles, des carrés ou d'autres polygones réguliers. Placez-vous sur un coin commun et faites-en le tour : vous devez rencontrer partout la même suite de formes.

Le pavage est semi-régulier lorsque cette règle est respectée à chaque sommet et que plusieurs types de polygones sont employés. La suite (3,6,3,6), par exemple, indique qu'un triangle, un hexagone, un triangle puis un hexagone entourent chaque sommet.

Un pavage semi-régulier recouvre le plan euclidien avec plusieurs types de polygones réguliers. Autour de chaque sommet, ou nœud, les mêmes polygones apparaissent dans le même ordre cyclique. L'ordre d'un nœud est le nombre de polygones qui s'y rejoignent. Son type est un n-uplet : chaque nombre donne le nombre de côtés du polygone rencontré, dans l'ordre du tour. Ainsi, (3,6,3,6) décrit un nœud d'ordre 4 entouré alternativement de triangles et d'hexagones.

Parmi les pavages archimédiens du plan euclidien — pavages bord à bord par des polygones réguliers de même longueur d'arête, avec le même arrangement à chaque sommet —, exactement huit utilisent plusieurs types de polygones : carré adouci (3,3,4,3,4), carré tronqué (4,8,8), hexagonal adouci (3,3,3,3,6), hexagonal tronqué (3,12,12), grand rhombitrihexagonal (4,6,12), petit rhombitrihexagonal (3,4,6,4), triangulaire allongé (3,3,3,4,4) et trihexagonal (3,6,3,6).

La liste de huit concerne le plan euclidien. Dans le plan hyperbolique, d'autres pavages semi-réguliers existent : le cadre géométrique fait donc partie de la définition employée.

Prenons le pavage trihexagonal. Les données sont les suivantes : un nœud ; deux triangles équilatéraux ; deux hexagones réguliers ; la suite cyclique (3,6,3,6). L'angle intérieur d'un triangle équilatéral vaut 60° et celui d'un hexagone régulier vaut 120°.

La figure matérialise ces quatre angles autour d'un même nœud et rend visible leur ordre alterné.

1. Lisez chaque nombre comme le nombre de côtés du polygone correspondant.
2. Remplacez les deux 3 par deux angles de 60°.
3. Remplacez les deux 6 par deux angles de 120°.
4. Additionnez les quatre angles autour du nœud.

Le total est exactement un tour complet : les quatre polygones se rejoignent sans laisser d'angle vide et sans se chevaucher au nœud. Pour refaire le contrôle, additionnez les angles dans l'ordre (3,6,3,6) ; le résultat doit rester 360°. Ce calcul vérifie la compatibilité locale de la configuration choisie.

Pour identifier un motif, choisissez plusieurs sommets éloignés et notez la suite des nombres de côtés. Si la même suite cyclique revient partout avec plusieurs formes régulières, la piste semi-régulière est pertinente. Si un seul type de polygone apparaît, examinez plutôt un pavage régulier.

Pour contrôler une configuration proposée, calculez les angles intérieurs des polygones et additionnez-les autour d'un nœud. Un total différent de 360° exclut cette configuration dans le plan euclidien. Un total de 360° est seulement une condition angulaire nécessaire : avant de conclure à un assemblage local, vérifiez aussi que les longueurs des arêtes coïncident et que les polygones s'assemblent bord à bord. Il faut ensuite contrôler que le motif se prolonge et que tous les nœuds ont le même type.

Pavage régulier. Il n'emploie qu'un seul type de polygone régulier, tandis que le pavage semi-régulier en combine plusieurs. Un quadrillage entièrement formé de carrés est régulier ; la configuration (4,8,8), qui mêle carrés et octogones, est semi-régulière.

Pavage composé de plusieurs polygones réguliers. La diversité des formes ne suffit pas. Si deux sommets présentent des suites cycliques différentes, le pavage ne satisfait pas la condition semi-régulière retenue ici, même si chaque tuile est un polygone régulier.

Une somme de 360° n'est qu'un test local. Elle montre que les polygones peuvent entourer un nœud du plan euclidien. Elle ne prouve pas, à elle seule, que l'assemblage couvre tout le plan avec le même type de nœud ; il faut contrôler le prolongement du motif.

Le début et le sens de lecture du n-uplet sont conventionnels. Faire commencer la lecture sur un autre polygone décale la suite sans changer le nœud ; en l'absence d'une orientation globale imposée, parcourir le nœud dans l'autre sens renverse la suite. Par exemple, (3,6,3,6) et (6,3,6,3) décrivent le même ordre cyclique ; il faut comparer les suites à rotation et à renversement près.

Le nombre huit dépend du cadre. Il vaut pour les pavages semi-réguliers du plan euclidien selon la définition donnée. Dans le plan hyperbolique, d'autres configurations existent ; il ne faut donc pas y transposer cette liste comme une classification exhaustive.

Le bord d'un dessin peut tromper. Dans un extrait fini, les sommets du bord ne montrent pas tous leurs polygones. Pour identifier le type du pavage, il faut examiner des nœuds intérieurs dont le voisinage complet est visible.

Pavage régulier — Pour comparer le cas où un seul type de polygone entoure tous les sommets.

Les polygones réguliers — Pour approfondir les formes dont les angles déterminent les configurations possibles autour d'un nœud.