GéométrieNotion · Glossaire
pavage équilatéral
Le pavage équilatéral, également appelé pavage triangulaire, est l'un des trois pavages réguliers du plan euclidien. Sa tuile de base est le triangle équilatéral. Dans ce pavage, six triangles équilatéraux se réunissent en chaque sommet, leurs angles de 60° totalisant 360°. Il est l'un des rares pavages réguliers possibles dans le plan euclidien, aux côtés du pavage carré et du pavage hexagonal.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la tuile triangulaire équilatérale et les six triangles autour d'un sommet.
- Vérifier la fermeture d'un sommet par le calcul 6 × 60° = 360°.
- Distinguer une fermeture locale d'un pavage complet du plan euclidien.
- Écarter un pavage hexagonal ou un pavage par des triangles non équilatéraux.
En clair
Imaginez un sol couvert de triangles équilatéraux identiques, posés bord contre bord. À chaque coin intérieur du motif, on peut compter six pointes de triangles. Chacune ouvre un angle de 60° ; ensemble, elles remplissent le tour complet de 360°.
Ce réseau sans trou ni chevauchement est le pavage équilatéral, aussi nommé pavage triangulaire. Le triangle reste la tuile élémentaire, même si l'œil peut regrouper plusieurs tuiles en formes plus grandes.
Définition
Un pavage équilatéral est un pavage régulier du plan euclidien dont la tuile de base est le triangle équilatéral. Il porte aussi le nom de pavage triangulaire. Des copies de cette même tuile recouvrent le plan sans trou ni chevauchement. L'orientation ou la couleur des triangles ne change pas la nature du pavage.
Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure 60°. En chaque sommet du pavage, six triangles se rencontrent donc et leurs angles totalisent exactement 6 × 60° = 360°. Cette égalité explique la fermeture locale autour du sommet ; la couverture de tout le plan reste nécessaire pour parler d'un pavage.
Dans le plan euclidien, le pavage équilatéral est l'un des trois pavages réguliers. Les deux autres cités avec lui sont le pavage carré et le pavage hexagonal : ils se distinguent d'abord par la forme de leur tuile de base.
Un exemple, pas à pas
On examine un sommet intérieur d'un motif composé de triangles équilatéraux. Les données sont les suivantes : six triangles touchent ce sommet, chacun y apporte un angle de 60°, et un tour complet mesure 360°. La figure représente exactement cette configuration locale.
1. On additionne les six angles égaux : 6 × 60° = 360°.
2. On compare cette somme au tour complet : 360° = 360°. Les triangles ferment donc le voisinage du sommet.
3. On calcule l'angle restant : 360° − 360° = 0°. Il n'y a localement ni trou angulaire ni chevauchement.
Le contrôle inverse se refait par une division : 360° ÷ 60° = 6. On retrouve le nombre de triangles observés. Ce calcul vérifie le sommet ; pour conclure au pavage équilatéral, il faut aussi que les mêmes triangles recouvrent tout le plan sans trou ni chevauchement.
En pratique
Pour reconnaître ce pavage dans un dessin, isolez d'abord la plus petite tuile répétée. Si c'est un triangle équilatéral, observez ensuite plusieurs sommets intérieurs et comptez six triangles autour de chacun.
Pour prolonger un motif, placez les triangles bord contre bord et contrôlez chaque nouveau sommet. Cinq triangles laissent un angle vide ; il faut en ajouter un sixième pour atteindre 360°.
Pour distinguer les trois pavages réguliers cités dans la définition, regardez la tuile de base. Une tuile carrée ou hexagonale conduit respectivement au pavage carré ou hexagonal, pas au pavage équilatéral.
À ne pas confondre
Un pavage hexagonal a pour tuile de base un hexagone, tandis que le pavage équilatéral a pour tuile un triangle équilatéral. Le contour d'une tuile élémentaire tranche, même si un regroupement de triangles fait apparaître une forme à six côtés.
Un pavage par des triangles quelconques n'est pas nécessairement équilatéral. Mesurer un angle différent de 60° ou des côtés inégaux sur la tuile répétée suffit à écarter le terme précis « pavage équilatéral ».
Limites et pièges
Six triangles bien ajustés autour d'un seul point ne prouvent qu'une fermeture locale. Si le motif ne se prolonge pas sans trou ni chevauchement, il faut parler d'un assemblage local plutôt que d'un pavage du plan.
Au bord d'un dessin fini, moins de six triangles peuvent toucher un sommet sans que le pavage représenté soit faux. Il faut effectuer le contrôle sur un sommet intérieur, où tout le tour de 360° est visible.
Le nombre six est charnière : cinq angles de 60° totalisent 300° et laissent 60° libres ; sept totalisent 420° et imposent un chevauchement de 60°. Il faut revenir à six tuiles autour du sommet.
La définition donnée ici concerne le plan euclidien. Dans un autre cadre géométrique, il ne faut pas transposer automatiquement le comptage ; les hypothèses du pavage doivent d'abord être reformulées dans ce cadre.
Pour aller plus loin
L'article Éblouissants pavages de Penrose ouvre sur des pavages qui sortent du cadre régulier étudié ici.
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