pavage d'Archimède

Imaginez un sol couvert sans trou ni chevauchement par des carreaux en forme de carrés, de triangles équilatéraux ou d'autres polygones réguliers. À chaque coin, on retrouve le même arrangement de formes, toujours dans le même ordre.

Ce motif est un pavage d'Archimède. Il est régulier si une seule forme est employée et semi-régulier si plusieurs formes se rencontrent. La couleur et la taille du dessin peuvent changer : ce sont les formes et leur organisation autour des sommets qui comptent.

Un pavage d'Archimède recouvre le plan euclidien avec des polygones réguliers joints bord à bord, sans trou ni chevauchement. Tous les côtés d'un même polygone ont donc la même longueur et tous ses angles ont la même mesure. La condition distinctive porte sur les sommets : en tournant autour de n'importe quel sommet, on rencontre la même suite de polygones réguliers.

La configuration d'un sommet se note par le nombre de côtés des polygones rencontrés, dans leur ordre circulaire. Ainsi, 4.8.8 indique un carré puis deux octogones réguliers. Leurs angles intérieurs remplissent exactement un tour autour du sommet : ${90}^{\circ }+{135}^{\circ }+{135}^{\circ }={360}^{\circ }90^\backslash circ+135^\backslash circ+135^\backslash circ=360^\backslash circ$. Cette égalité est nécessaire pour fermer localement l'assemblage.

La famille comprend trois pavages réguliers, formés respectivement de triangles équilatéraux, de carrés ou d'hexagones réguliers, et huit pavages semi-réguliers combinant plusieurs types de polygones. Selon les auteurs, « pavage d'Archimède » englobe les onze pavages ou ne nomme que les huit semi-réguliers.

On rencontre ce type de motif sur un dessin géométrique, une mosaïque ou un assemblage de carreaux. Quatre indices se voient sans calcul : le plan est couvert sans espace vide, chaque tuile est un polygone régulier, les tuiles se touchent par des côtés entiers et tous les sommets présentent le même voisinage.

Le support porte une information d'organisation, pas seulement un décor. Pour l'identifier, il faut regarder les jonctions plutôt qu'une tuile isolée : le motif peut être tourné, agrandi ou coloré autrement sans changer de configuration. Une alternance visuelle de couleurs ne suffit donc pas à créer un nouveau pavage d'Archimède.

La grandeur à contrôler est l'angle total autour d'un sommet, mesuré en degrés. La notation se lit dans l'ordre circulaire des polygones ; changer le point de départ ou le sens de lecture ne change pas le voisinage décrit.

1. Choisissez un sommet intérieur du motif et comptez les côtés de chaque polygone qui le touche.
2. Écrivez ces nombres dans l'ordre autour du sommet.
3. Additionnez les angles intérieurs correspondants ; le total doit être 360°.
4. Recommencez sur plusieurs sommets : la suite doit rester la même, à rotation ou lecture inverse près.

L'œil peut prendre une répétition de couleurs pour une répétition géométrique. Le bon réflexe consiste à ignorer d'abord les couleurs, puis à vérifier les côtés, les angles et l'ordre des polygones à chaque jonction. La figure 4.8.8 rend visible ce contrôle sur un sommet.

Considérons la configuration 4.8.8. Les données sont un carré régulier, deux octogones réguliers et un sommet commun. L'angle intérieur du carré mesure 90° ; celui d'un octogone régulier mesure 135°.

1. Le premier nombre, 4, indique que le carré touche le sommet.
2. Les deux nombres 8 indiquent que deux octogones le touchent ensuite.
3. La somme des trois angles vaut ${90}^{\circ }+{135}^{\circ }+{135}^{\circ }={360}^{\circ }90^\backslash circ+135^\backslash circ+135^\backslash circ=360^\backslash circ$.
4. Les trois polygones ferment donc exactement un tour, sans manque ni chevauchement local.

Le résultat est une jonction compatible avec un pavage semi-régulier de type 4.8.8. Pour contrôler le calcul, deux angles de 135° donnent 270°, auxquels les 90° du carré ajoutent un quart de tour : on obtient bien 360°. Il reste à constater sur le motif complet que chaque sommet possède la même configuration.

Pour classer une mosaïque géométrique, on relève les formes qui se rencontrent à chaque jonction. Si une seule forme régulière revient partout, le pavage est régulier ; si plusieurs formes régulières gardent le même voisinage, il est semi-régulier.

Pour construire un motif, on choisit une configuration dont les angles totalisent 360°, puis on prolonge les côtés bord à bord. Si l'assemblage finit par laisser un trou ou imposer une autre jonction, la compatibilité locale ne suffisait pas à paver tout le plan.

Pour comparer deux dessins, on oublie leur échelle, leur orientation et leurs couleurs. On préfère la notation des sommets lorsque les mêmes polygones sont dessinés différemment : 4.8.8 reste 4.8.8 après une rotation ou un agrandissement.

Un pavage quelconque peut employer des polygones irréguliers ou présenter plusieurs voisinages de sommets. Un seul sommet conforme à 4.8.8 ne suffit pas : si une autre jonction diffère, le pavage n'est pas archimédien.

Un pavage régulier n'est pas synonyme de pavage semi-régulier. Quatre carrés autour de chaque sommet donnent un pavage régulier, car une seule sorte de polygone est utilisée ; la configuration 4.8.8 est semi-régulière, car elle mêle carré et octogone.

La régularité des polygones ne signifie pas que tout motif périodique est archimédien. Le critère décisif est l'identité de la configuration à tous les sommets, pas la seule répétition d'une portion du dessin.

La somme de 360° teste une jonction locale, mais elle ne prouve pas à elle seule que le motif peut se prolonger sur tout le plan avec le même sommet. Après le calcul, il faut poursuivre la construction et contrôler toutes les jonctions créées.

La notation circulaire admet plusieurs écritures visuelles d'un même voisinage. Pour 4.8.8, commencer par un octogone peut donner 8.8.4, et lire dans l'autre sens ne change pas la configuration. Il faut comparer les suites à rotation et inversion près, plutôt que caractère par caractère.

Le vocabulaire varie selon les auteurs. Certains comptent les trois pavages réguliers parmi les pavages d'Archimède, soit onze types au total ; d'autres réservent ce nom aux huit semi-réguliers. Il faut annoncer la convention retenue avant de comparer un classement ou un dénombrement.

La fiche pavage semi-régulier approfondit la branche qui combine plusieurs sortes de polygones réguliers tout en conservant la même configuration à chaque sommet.