GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Thalès - cercle -
Dans cette version liée au cercle, le théorème de Thalès affirme que si un triangle est inscrit dans un cercle et si l’un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle au sommet opposé à ce diamètre. Réciproquement, tout triangle rectangle s’inscrit dans un cercle dont l’hypoténuse est un diamètre. Le résultat permet ainsi de reconnaître ou de construire un triangle rectangle à partir d’un cercle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer le théorème du diamètre et sa réciproque avec toutes leurs hypothèses.
- Reconnaître le sommet de l’angle droit et l’hypoténuse dans un cercle.
- Vérifier le résultat sur un triangle 6–8–10 et retrouver un rayon de 5 cm.
- Distinguer cette version du théorème français fondé sur les droites parallèles.
- Éviter les erreurs liées à une simple corde, à un point intérieur ou à un triangle dégénéré.
En clair
Tracez un cercle, puis un diamètre reliant deux points A et C. Choisissez un troisième point B sur le cercle et reliez-le aux extrémités du diamètre. Quelle que soit la position de B sur l’un des demi-cercles, l’angle formé en B est droit.
Le diamètre [AC] devient donc l’hypoténuse du triangle ABC. Réciproquement, le cercle passant par les trois sommets d’un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.
Définition
Dans sa version liée au cercle, le théorème de Thalès caractérise les triangles rectangles inscrits. Soient A et C les extrémités d’un diamètre d’un cercle, et B un autre point de ce cercle. Le triangle ABC est rectangle en B : l’angle opposé au diamètre [AC] mesure 90°. Ce résultat est aussi appelé théorème du diamètre ou théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle.
La réciproque part d’un triangle ABC rectangle en B. Son hypoténuse est alors [AC], et les trois sommets appartiennent au cercle de centre le milieu de [AC] et de rayon AC/2. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
L’appellation dépend du pays. En France, « théorème de Thalès » désigne habituellement le résultat de proportionnalité associé à des droites parallèles. Dans d’autres traditions, notamment en Suisse ou en Allemagne, elle peut désigner le résultat sur le diamètre et l’angle inscrit présenté ici.
Le principe
Théorème. Si les points A, B et C sont sur un même cercle, si A et C sont les extrémités d’un diamètre et si B est distinct de A et de C, alors le triangle ABC est rectangle en B. Autrement dit, l’angle ABC mesure 90°.
Réciproque. Si le triangle ABC est rectangle en B, alors A, B et C appartiennent au cercle ayant [AC] pour diamètre. Le centre de ce cercle est le milieu de l’hypoténuse [AC].
Quand l'utiliser
Pour appliquer le sens direct, il faut vérifier trois faits : A, B et C appartiennent au même cercle ; [AC] passe par le centre, donc c’est un diamètre ; B n’est ni A ni C. On obtient alors un angle droit en B, jamais en A ou en C.
Pour appliquer la réciproque, il faut connaître l’angle droit du triangle. Le côté qui lui est opposé est l’hypoténuse et devient le diamètre du cercle circonscrit.
Si [AC] est seulement une corde qui ne passe pas par le centre, le théorème ne donne pas un angle droit. Il faut alors employer le théorème général de l’angle inscrit pour relier l’angle ABC à l’arc intercepté.
Un exemple, pas à pas
Données. Un cercle a pour diamètre [AC] de longueur 10 cm. Un point B du cercle vérifie AB = 6 cm et BC = 8 cm. On cherche la nature du triangle ABC et on contrôle le résultat par les longueurs.
1. Les trois points A, B et C sont sur le cercle, et [AC] en est un diamètre. Les hypothèses du théorème sont donc réunies.
2. L’angle opposé au diamètre [AC] est l’angle ABC. Le théorème donne un angle ABC de 90° : le triangle ABC est rectangle en B.
3. Le contrôle numérique utilise les trois longueurs annoncées : . L’égalité de Pythagore confirme l’angle droit en B.
4. Dans le sens réciproque, les longueurs 6 cm, 8 cm et 10 cm suffisent à établir que le triangle est rectangle en B. Son cercle circonscrit a alors [AC] pour diamètre, son centre au milieu de [AC] et un rayon de 5 cm.
La construction correspondante montre le diamètre de 10 cm, le sommet B sur le cercle et le marqueur de l’angle droit. Les côtés de 6 cm et 8 cm aboutissent exactement aux extrémités du diamètre.
En pratique
Pour prouver qu’un angle est droit sans le mesurer, repérez d’abord un cercle et un diamètre. Si le sommet de l’angle est sur le cercle et que ses côtés rejoignent les extrémités du diamètre, le théorème conclut immédiatement.
Pour construire le cercle circonscrit à un triangle rectangle, cherchez le milieu de l’hypoténuse. Prenez ce milieu pour centre et la moitié de l’hypoténuse pour rayon ; le cercle passe alors par les trois sommets.
Si les longueurs des trois côtés sont seules connues, le critère de Pythagore est l’outil direct pour vérifier l’angle droit. Le résultat sur le cercle intervient ensuite pour situer le centre du cercle circonscrit.
À ne pas confondre
Avec le théorème de Thalès employé en France. Celui-ci porte sur des droites parallèles et des rapports de longueurs. La présence d’un cercle et d’un côté-diamètre signale au contraire la version étudiée ici, qui conclut à un angle droit.
Avec le théorème général de l’angle inscrit. Ce dernier relie un angle inscrit à l’angle au centre interceptant le même arc. Le cas du diamètre est particulier : l’angle au centre est plat, donc l’angle inscrit vaut 90°.
Avec le cercle inscrit dans un triangle. Un cercle inscrit touche les trois côtés. Ici, le triangle est inscrit dans le cercle : ce sont ses trois sommets qui appartiennent au cercle.
Limites et pièges
Une corde n’est pas forcément un diamètre. Si [AC] ne passe pas par le centre, l’angle ABC n’est pas nécessairement droit. Il faut vérifier le passage par le centre avant de conclure.
Être dans le disque ne suffit pas. Le sommet B doit appartenir au cercle, pas seulement se trouver à l’intérieur. Un point intérieur ne satisfait pas l’hypothèse d’inscription.
Les extrémités sont des cas dégénérés. Si B coïncide avec A ou C, il n’y a plus trois sommets distincts ni triangle. L’énoncé exige donc B distinct des extrémités du diamètre.
Le sommet de l’angle droit détermine l’hypoténuse. Dans un triangle rectangle en B, le diamètre est [AC]. Choisir [AB] ou [BC] comme diamètre placerait l’angle droit au mauvais sommet.
Pour aller plus loin
Le théorème de l'angle inscrit replace l’angle droit interceptant un diamètre dans une relation valable pour tous les arcs d’un cercle.
Le centre du cercle circonscrit précise pourquoi, dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets.
Le théorème de Thalès présente la propriété de proportionnalité associée aux droites parallèles sous ce nom en France.
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