cercle de Tücker

Imaginez un triangle et une copie agrandie ou réduite depuis un point intérieur particulier, le point de Lemoine. Les côtés correspondants des deux triangles sont parallèles. En revanche, chaque côté de la copie coupe les deux autres côtés du triangle initial. On obtient ainsi six points d'intersection.

Le fait remarquable est que ces six points se placent tous sur un même cercle. Lorsque le rapport d'agrandissement varie, ce cercle varie aussi : on obtient la famille des cercles de Tücker.

Dans un triangle non dégénéré ABC, le point de Lemoine, noté L, est l'intersection des trois symédianes. La symédiane issue d'un sommet est la droite symétrique de la médiane issue de ce sommet par rapport à sa bissectrice. On choisit un nombre réel k, différent de 0 et de 1, puis on applique au triangle l'homothétie de centre L et de rapport k. Les images respectives de A, B et C sont notées A', B' et C'.

Chaque côté du triangle image est parallèle au côté correspondant du triangle initial. On le coupe donc avec les deux droites qui portent les autres côtés de ABC : A'B' avec AC et BC, B'C' avec AB et AC, puis C'A' avec AB et BC. Ces six intersections sont cocycliques, c'est-à-dire qu'un même cercle les contient. Ce cercle est le cercle de Tücker de rapport k associé à ABC. Le paramètre k décrit toute une famille ; le cercle de Taylor et les deux cercles de Lemoine en sont des cas particuliers.

La construction repose sur cinq éléments : le triangle initial ABC, ses trois symédianes, leur point commun L, un rapport réel k distinct de 0 et de 1, et le triangle image A'B'C'. Le centre L et le rapport k déterminent entièrement l'homothétie ; celle-ci détermine à son tour les trois sommets images et leurs côtés.

Les six points viennent ensuite des intersections entre chaque côté image et les deux côtés initiaux non parallèles. Leur cocyclicité définit le cercle de Tücker. La couleur, l'épaisseur ou l'échelle du dessin ne participent pas à la définition. Le triangle, son point de Lemoine et la valeur de k suffisent à construire les six points, puis le cercle.

Dans un repère, prenons A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 3). Le point de Lemoine de ce triangle est L(0,6 ; 1,2). Choisissons le rapport k = 1/2.

1. L'homothétie envoie les sommets sur A'(0,3 ; 0,6), B'(3,3 ; 0,6) et C'(0,3 ; 2,1).

2. Les droites qui portent les côtés images ont pour équations y = 0,6, x = 0,3 et y = 2,25 − 0,5x.

3. Leurs intersections avec les côtés initiaux non parallèles sont (0 ; 0,6), (4,8 ; 0,6), (0,3 ; 0), (0,3 ; 2,85), (4,5 ; 0) et (0 ; 2,25).

4. Ces six points vérifient l'équation du cercle de centre O(2,4 ; 1,425) :

Le rayon vaut donc environ 2,538 unités. Un contrôle direct avec le point (4,8 ; 0,6) donne 2,4² + (−0,825)² = 6,440625.

Sur papier, on construit d'abord les symédianes pour obtenir L, puis le triangle homothétique pour une valeur choisie de k. Trois des intersections suffisent à tracer le cercle ; les trois autres servent alors de contrôle de la cocyclicité.

Dans un logiciel de géométrie dynamique, on fait varier k tout en gardant ABC fixe. Ce geste montre une famille de cercles, alors qu'une construction au compas pour une valeur unique montre seulement un de ses membres.

Si l'objectif est seulement de vérifier un cercle donné, il est plus direct de construire le cercle passant par trois intersections, puis de tester l'appartenance des trois restantes. Si l'objectif porte sur la famille, il faut conserver k comme paramètre.

Le triangle A'B'C' n'est pas le cercle de Tücker. Il est l'image homothétique de ABC ; le cercle passe par les six intersections produites par les côtés des deux triangles.

Le cercle de Taylor n'est pas un autre nom pour toute la famille. Il correspond à un cas particulier de cercle de Tücker, tandis qu'une valeur générale de k donne un autre membre de la famille.

Les deux cercles de Lemoine sont eux aussi des cas particuliers, et non les deux seuls cercles de Tücker. Le critère décisif est la présence d'un rapport k variable dans la définition de la famille.

Pour k = 0, les trois sommets images se confondent avec L : il n'existe plus de triangle image dont on puisse intersecter les côtés. Cette valeur est donc exclue.

Pour k = 1, le triangle image coïncide avec ABC. Les intersections attendues ne forment plus six points déterminés, ce qui explique la seconde valeur exclue.

Lorsque k est négatif ou supérieur à 1, certaines intersections peuvent se trouver hors des segments dessinés. Il faut alors travailler avec les droites qui portent les côtés, et non limiter artificiellement la construction aux segments.

Un tracé approximatif peut faire croire qu'un des six points manque le cercle. La vérification fiable consiste à construire le cercle par trois points, puis à contrôler les trois autres par une même équation ou par la géométrie dynamique.

Le point de Lemoine précise le centre choisi pour l'homothétie et son lien avec les trois symédianes.

La symédiane approfondit la droite dont l'intersection commune définit le point L.

L'homothétie détaille la transformation qui produit A'B'C' à partir du centre L et du rapport k.

L'entrée Cocycliques donne le vocabulaire et le critère géométrique qui réunissent les six intersections sur un cercle.

Le cercle de Taylor permet d'étudier un cas particulier inclus dans la famille des cercles de Tücker.