GéométrieNotion · Glossaire
Cocycliques
Des points sont dits cocycliques s'ils appartiennent tous à un même cercle. En géométrie plane, si au moins trois des quatre points sont distincts et non alignés, ils sont cocycliques si et seulement si le déterminant formé par leurs coordonnées et les carrés de leurs distances à l'origine est nul. De façon équivalente, pour quatre points distincts A, B, C et D sans trois points alignés, les angles ACB et ADB sous-tendent la même corde AB : les quatre points sont cocycliques si et seulement si ces angles sont égaux lorsque C et D sont du même côté de la droite (AB), ou supplémentaires lorsqu'ils sont de côtés opposés. La notion de cocyclicité est généralisée en géométrie inversive.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir précisément des points cocycliques.
- Choisir entre un critère angulaire, un contrôle de distances et un déterminant.
- Vérifier pas à pas les quatre sommets d’un rectangle de côtés 4 et 3.
- Écarter les cas dégénérés de points alignés ou répétés.
En clair
Imaginez quatre punaises posées sur une feuille. Si l’on peut tracer un seul cercle qui passe exactement par chacune d’elles, les quatre points marqués sont cocycliques. Le cercle peut être grand ou petit : seule compte l’appartenance de tous les points à son contour.
Un rectangle en donne une image familière. Ses quatre sommets sont sur un même cercle, centré à l’intersection de ses diagonales. En revanche, déplacer un seul sommet au hasard suffit généralement à perdre cette propriété.
Définition
Dans le plan, des points distincts sont cocycliques lorsqu’il existe un cercle qui les contient tous. Trois points distincts non alignés déterminent toujours un cercle unique. La question devient donc réellement discriminante à partir de quatre points : le quatrième appartient-il au cercle déterminé par les trois premiers ?
Un critère géométrique utilise les angles inscrits. Deux points placés du même côté d’une corde voient cette corde sous le même angle s’ils appartiennent au même cercle. S’ils sont de part et d’autre de la corde, les deux angles non orientés correspondants sont supplémentaires. Ainsi, pour un quadrilatère non dégénéré, la somme de deux angles opposés vaut 180° exactement lorsqu’il est inscriptible dans un cercle.
Pour quatre points Ai de coordonnées (xi ; yi), avec i allant de 1 à 4, et dont au moins trois sont distincts et non alignés, le critère algébrique s’écrit : . Ce déterminant exprime qu’une même équation de cercle convient aux quatre couples de coordonnées. La cocyclicité se prolonge aussi dans le cadre de la géométrie inversive.
Un exemple, pas à pas
Considérons les points A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(4 ; 3) et D(0 ; 3). Ils forment un rectangle de largeur 4 et de hauteur 3. Cette configuration permet de contrôler la même cocyclicité par le cercle, les angles et les coordonnées.
1. L’intersection O des diagonales a pour coordonnées (2 ; 1,5).
2. La distance de O à chaque sommet vérifie . Les quatre sommets appartiennent donc au cercle de centre O et de rayon 2,5.
3. Les angles BAC et BDC interceptent tous deux la corde BC. Chacun mesure arctan(3/4), soit environ 36,9°, ce qui fournit un second contrôle.
4. Dans le déterminant des coordonnées, la troisième colonne vaut successivement 0, 16, 25 et 9. Son calcul donne 0, conformément au critère algébrique.
Le résultat est donc confirmé de trois façons indépendantes : A, B, C et D sont cocycliques sur le cercle de centre O(2 ; 1,5) et de rayon 2,5.
En pratique
Dans une figure de géométrie, commencez par chercher deux angles qui interceptent le même segment. Leur égalité peut établir la cocyclicité sans construire le cercle. Si les sommets observés sont opposés dans un quadrilatère, contrôlez plutôt que leurs angles sont supplémentaires.
Avec des coordonnées, le déterminant fournit un test systématique pour quatre points en position générale. Lorsque le centre présumé est visible, comparer les quatre distances à ce centre est souvent plus court.
Pour construire le cercle, choisissez trois points non alignés, tracez les médiatrices de deux segments qui les relient, puis vérifiez que les autres points sont à la même distance de leur intersection.
À ne pas confondre
Points cocycliques et points alignés. Les premiers appartiennent à un même cercle non dégénéré ; les seconds, à une même droite. Trois points distincts alignés ne déterminent aucun cercle passant par eux tous.
Quadrilatère cyclique et polygone régulier. Être cocyclique n’impose ni côtés égaux ni angles égaux. Le rectangle de côtés 4 et 3 est cyclique, mais il n’est pas régulier puisque ses quatre côtés n’ont pas la même longueur.
Limites et pièges
Un ou deux points. Une infinité de cercles peuvent passer par eux. Dire qu’ils sont cocycliques ne fournit donc presque aucune information ; il faut d’autres points pour fixer le cercle.
Trois points. S’ils sont distincts et non alignés, ils sont toujours cocycliques sur un cercle unique. S’ils sont alignés, aucun cercle non dégénéré ne les contient tous. Il faut donc vérifier l’alignement avant toute construction.
Déterminant nul. Sans l’hypothèse de position générale, la nullité peut aussi provenir de points alignés ou répétés. Le symptôme est une configuration dégénérée ; contrôlez d’abord que les points sont distincts et que trois d’entre eux ne sont pas alignés.
Angles vus depuis deux côtés d’une corde. Des angles inscrits ordinaires sont égaux lorsque leurs sommets sont du même côté de la corde. De côtés opposés, ils sont supplémentaires ; pour éviter l’erreur, utilisez des angles orientés ou le critère des 180° du quadrilatère.
Pour aller plus loin
théorème de l'angle inscrit — Reliez l’égalité des angles à la corde commune qui établit la cocyclicité.
centre du cercle circonscrit — Situez le point équidistant des sommets et construisez le cercle qui les contient.
Autour de l'angle inscrit — Approfondissez les configurations où un même arc commande plusieurs relations angulaires.
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