Reim (théorème de)

Imaginez deux cercles qui se croisent en deux points, M et N. Une droite passe par M et traverse les deux cercles ; une autre fait de même par N. Sur chaque cercle, reliez alors les deux nouveaux points obtenus, en vérifiant qu'ils sont distincts. Les droites de raccordement suivent exactement la même direction : elles sont parallèles.

Le théorème de Reim transforme ainsi une information de cocyclicité en un parallélisme visible. La taille des cercles et l'inclinaison des deux droites peuvent changer sans modifier cette conclusion.

Le théorème de Reim est un résultat de géométrie euclidienne portant sur deux cercles sécants. Appelons M et N leurs deux points communs. Une droite passant par M, distincte de (MN), rencontre de nouveau le premier cercle en A et le second en B. Une autre droite passant par N, elle aussi distincte de (MN), rencontre de nouveau le premier cercle en C et le second en D. Si A≠C et B≠D, le théorème affirme alors que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Les quatre points A, M, N et C appartiennent au premier cercle ; les quatre points B, M, N et D appartiennent au second. Cette double cocyclicité impose des angles inscrits égaux, puis le parallélisme. Le résultat ne compare ni les rayons ni les longueurs des cordes : il relie uniquement les incidences de la figure à une direction commune.

Cet énoncé ne doit pas être remplacé par l'égalité des produits de segments de deux cordes sécantes. Cette dernière relève de la puissance d'un point, et non du théorème de Reim.

Si deux cercles se coupent en M et N, si une droite passant par M, distincte de (MN), recoupe les cercles respectivement en A et B, et si une droite passant par N, elle aussi distincte de (MN), les recoupe respectivement en C et D, avec A≠C et B≠D, alors les droites joignant A à C et B à D sont parallèles.

La conclusion s'écrit $(AC)\parallel (BD)(AC)\; \backslash parallel\; (BD)$. L'ordre des cercles compte : A et C sont sur le premier, B et D sur le second.

Le cadre est le plan euclidien. Les deux cercles doivent avoir deux points communs distincts, M et N. Chacune des droites choisies passe par l'un de ces points, coupe chaque cercle une seconde fois et doit être distincte de la corde commune (MN). Pour que les raccordements soient définis, il faut en outre A≠C et B≠D. A et C désignent les points du même cercle, tandis que B et D appartiennent à l'autre ; dans cette configuration non dégénérée, les raccordements sont parallèles.

Deux cercles disjoints ne fournissent ni M ni N : la construction est alors bloquée et le théorème ne s'applique pas. Pour deux cercles tangents, les deux points communs se confondent ; il faut traiter cette position comme un cas limite avec des tangentes, et non appliquer directement l'énoncé sécant.

On considère deux cercles sécants en M et N. La droite (MAB) coupe d'abord le premier cercle en A, puis le second en B. La droite (NCD) coupe le premier cercle en C, puis le second en D.

1. Dans le premier cercle, les angles inscrits CAM et CNM interceptent la même corde CM. Leurs mesures orientées sont donc égales modulo un angle plat.

2. Comme C, N et D sont alignés, l'angle CNM peut être remplacé par l'angle DNM modulo un angle plat. Dans le second cercle, les angles DNM et DBM interceptent la même corde DM ; ils ont donc la même mesure orientée.

3. Comme A, M et B sont alignés, les droites (AC) et (BD) forment le même angle orienté avec la transversale (AB). On conclut que $(AC)\parallel (BD)(AC)\; \backslash parallel\; (BD)$.

Le contrôle est graphique : en prolongeant (AC) et (BD), les deux droites gardent la même direction. Le schéma associé montre une configuration calculée où elles sont toutes deux verticales.

Dans un problème de géométrie, repérez d'abord deux cercles partageant deux points. Si, par chacun de ces points, une droite distincte de la corde commune recoupe les deux cercles en deux secondes intersections, Reim fournit directement le parallélisme des raccordements, sans calculer de longueurs.

Pour prouver que quatre points sont cocycliques, on préfère souvent un critère d'angles inscrits. Reim devient plus efficace lorsque les deux cercles sont déjà visibles et que la conclusion recherchée est un parallélisme.

Dans une figure chargée, colorez mentalement les points par cercle : A avec C, puis B avec D. Ce geste évite de relier deux points appartenant à des cercles différents.

Puissance d'un point. Elle compare des produits de longueurs sur des sécantes issues d'un même point. Si la conclusion attendue est PA × PB = PC × PD, il s'agit de puissance d'un point ; Reim conclut à un parallélisme entre deux raccordements de cercles.

Cocyclicité. Dire que quatre points sont cocycliques signifie seulement qu'ils appartiennent à un même cercle. Reim exige deux cercles sécants et deux alignements supplémentaires ; cette configuration plus riche produit le parallélisme.

Cercles tangents. Lorsque M et N se confondent, les deux sécantes de l'énoncé ne sont plus attachées à deux points distincts. Le symptôme est un point commun unique ; il faut employer une formulation limite faisant intervenir la tangente.

Seconde intersection confondue. Si une droite choisie est tangente à l'un des cercles au point commun, le « second point » n'est pas distinct. L'énoncé ordinaire ne suffit plus ; une version limite ou un raisonnement par angles avec tangente est nécessaire.

Mauvais appariement. Relier A à D et B à C ne donne en général aucun parallélisme. Le symptôme est que chaque segment joint alors des points de cercles différents ; il faut reformer AC et BD en groupant les points cercle par cercle.

La notion de points cocycliques donne le langage et le critère angulaire qui sous-tendent la preuve de Reim.

La fiche consacrée à la puissance d'un point par rapport à un cercle présente le résultat sur les produits de segments parfois attribué à tort à Reim.

Le parcours d'Auguste Miquel ouvre sur d'autres configurations où plusieurs cercles et des points cocycliques structurent une figure.