GéométrieObjet géométrique · Glossaire
puissance d'un point par rapport à un cercle
Soit un cercle C de centre O et de rayon R, et soit M un point du plan. Pour toute droite orientée passant par M et intersectant le cercle en deux points A et B, le produit des mesures algébriques MA et MB est constant, quelle que soit la droite choisie. Ce produit vaut MO² − R². Cette valeur constante est appelée puissance du point M par rapport au cercle C. Elle est positive si M est à l'extérieur du cercle, nulle si M est sur le cercle, et négative si M est à l'intérieur.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer la puissance avec MO² − R².
- Vérifier la même valeur à l’aide d’une sécante ou d’une tangente.
- Interpréter le signe selon la position du point.
- Éviter l’erreur de signe lorsque le point est intérieur au cercle.
En clair
Tracez plusieurs droites passant par un même point M et coupant un cercle. Sur chaque droite, repérez les deux intersections avec le cercle. Les distances orientées de M à ces intersections changent, mais leur produit reste le même.
Ce nombre constant est la puissance de M par rapport au cercle. Son signe situe M : positif à l’extérieur, nul sur le cercle et négatif à l’intérieur. Il mesure donc une relation entre le point et le cercle, pas une longueur.
Définition
Considérons un cercle C de centre O et de rayon R, ainsi qu’un point M du plan. Une droite orientée passant par M coupe le cercle en deux points A et B, éventuellement confondus dans le cas tangent. Les mesures algébriques de M vers A et de M vers B sont notées respectivement et . Leur produit ne dépend pas de la sécante choisie.
La puissance de M par rapport à C, notée ici PC(M), vérifie :
Si M est extérieur au cercle, la puissance est positive. Une tangente issue de M touche alors le cercle en un point T et donne PC(M) = MT2. Si M appartient au cercle, la puissance est nulle. Si M est intérieur, les deux intersections se trouvent de part et d’autre de M sur toute sécante : les mesures algébriques ont des signes opposés et la puissance est négative.
De quoi c'est fait
La configuration repose sur cinq données liées. Le cercle C est fixé par son centre O et son rayon positif R. Le point M est libre dans le plan ; sa distance au centre détermine déjà la puissance par MO2 − R2. Une droite orientée passant par M et coupant le cercle fournit enfin les intersections A et B.
Déplacer la droite modifie A, B et les deux mesures algébriques, mais pas leur produit. Déplacer M modifie au contraire la puissance. Le sens choisi sur la droite peut changer simultanément le signe des deux mesures ; leur produit reste inchangé. La couleur, l’échelle du dessin et la position du cercle sur la page ne définissent pas la configuration. Le centre, le rayon et M suffisent à calculer la puissance ; une sécante permet de la contrôler géométriquement.
Un exemple, pas à pas
Un cercle C a pour centre O et pour rayon 5. Le point M est extérieur, à une distance 13 du centre. La droite passant par M et O rencontre d’abord le cercle en A, puis en B. Une tangente issue de M touche aussi le cercle en T. Le schéma réunit ces deux contrôles de la même puissance.
Données.
Rayon : R = 5.
Distance au centre : MO = 13.
Sur la sécante orientée de M vers O : MA = 8 et MB = 18.
Rayon : R = 5.
Distance au centre : MO = 13.
Sur la sécante orientée de M vers O : MA = 8 et MB = 18.
Étape 1. Calculons la puissance à partir du centre et du rayon.
Étape 2. Sur la sécante, le produit vaut MA × MB = 8 × 18 = 144. Il retrouve exactement la puissance.
Étape 3. Pour la tangente, MT2 = 144, donc MT = 12 puisque MT est une longueur positive. Le triangle MTO est rectangle en T et fournit le contrôle 122 + 52 = 132.
En pratique
Lorsque le centre et le rayon sont connus, la formule MO2 − R2 est le calcul le plus direct. Le signe obtenu indique aussitôt si M est extérieur, sur le cercle ou intérieur.
Dans une figure où deux sécantes passent par le même point M, l’égalité des produits permet de trouver une longueur manquante. Il faut employer des mesures algébriques si M est intérieur ; avec M extérieur et les intersections sur un même rayon issu de M, les longueurs usuelles sont positives.
Depuis un point extérieur, une tangente offre une autre voie : son carré est égal à la puissance. Cette relation est préférable lorsque la longueur tangente est connue, tandis qu’une sécante est plus utile lorsque ses deux segments sont donnés.
À ne pas confondre
Puissance et distance de M au cercle. La distance au cercle est une longueur toujours positive ou nulle ; pour M extérieur, elle vaut MO − R. La puissance vaut MO2 − R2. Avec MO = 13 et R = 5, la distance vaut 8 tandis que la puissance vaut 144.
Puissance et carré de la distance au centre. MO2 ne tient pas compte à lui seul de la taille du cercle. Deux cercles de même centre mais de rayons différents donnent des puissances différentes pour le même point, car il faut soustraire R2.
Limites et pièges
Le cas charnière vaut exactement zéro. Lorsque MO = R, le point M appartient au cercle et sa puissance est nulle. Une sécante passant par M possède alors une intersection en M, donc l’un des facteurs algébriques est nul.
À l’intérieur, les longueurs non orientées masquent le signe. Si M est entre A et B, les longueurs MA et MB sont positives, mais la puissance doit être négative. Il faut orienter la droite : les deux mesures algébriques ont alors des signes opposés.
Toute droite par un point extérieur n’est pas une sécante. Certaines droites ne rencontrent pas le cercle et ne fournissent donc aucun produit MA × MB réel. Il faut choisir une droite qui coupe le cercle, ou une tangente pour laquelle les deux points d’intersection sont confondus.
Au centre, le signe reste négatif. Si M = O et si le rayon R est positif, la puissance vaut −R2. Sur une droite orientée, les intersections sont à des distances algébriques opposées, dont le produit est bien −R2.
Pour aller plus loin
Une puissance utile. Cet article prolonge la notion par des configurations où l’invariance du produit devient un outil de démonstration.
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