GéométrieObjet géométrique · Glossaire
symétrie par rapport à un cercle
Étant donné un cercle (C) de centre O et de rayon R, la symétrie par rapport au cercle (C) est l'application définie pour tout point M distinct de O qui associe à M le point M' tel que le point I, intersection du cercle (C) avec la demi-droite issue de O passant par M, soit le milieu du segment [MM']. Lorsque 0 < OM < 3R et OM ≠ R, M et M' sont placés de part et d'autre du cercle ; dans tous les cas, ils sont symétriques par rapport au point I.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le point image à partir du centre O et du point I situé sur le cercle.
- Vérifier la construction par l'égalité IM = IM'.
- Refaire un exemple avec un rayon de 5 unités et OM = 8 unités.
- Distinguer cette construction de l'inversion, de la symétrie centrale et de la symétrie axiale.
- Repérer l'absence d'image du centre et les seuils OM = R et OM = 2R.
En clair
Imaginez un cercle comme une frontière et un point M placé sur une demi-droite issue de O. Cette demi-droite rencontre le cercle en I. Pour trouver M', on continue ou on revient sur la même droite jusqu'à ce que I soit exactement à mi-chemin entre M et M'. Ainsi, si M se trouve à 3 unités de I à l'extérieur du cercle, on reporte la longueur IM, soit 3 unités, de l'autre côté de I pour placer M'.
Cette construction ressemble donc à une symétrie centrale de centre I, mais le point I change avec la direction choisie depuis O.
Définition
Soit un cercle (C) de centre O et de rayon R strictement positif. Pour un point M distinct de O, la demi-droite d'origine O passant par M coupe (C) en un unique point I. Le point M' est défini par la condition que I soit le milieu de [MM'] : les points M, I et M' sont alignés, et IM = IM'.
Sur l'axe orienté de O vers M, notons m la coordonnée de M. Les coordonnées de I et de M' valent respectivement R et m'. La construction se traduit par :
La distance OM' vaut donc |2R − m|. Si 0 < m < 2R, le point M' reste sur la demi-droite [OM) ; si m > 2R, il se trouve sur la demi-droite opposée.
Les points du cercle sont fixes, car M = I entraîne M' = M. En revanche, O n'a pas d'image avec cette règle : aucune demi-droite issue de O et passant par O n'est déterminée de manière unique. La transformation est donc définie naturellement sur le plan privé de O, et non sur tout le plan.
De quoi c'est fait
La construction repose sur cinq éléments. Le cercle (C) fixe la frontière ; son centre O fixe la direction radiale ; le point de départ M choisit une demi-droite ; son intersection I avec le cercle sert de centre local de symétrie ; enfin M' est le point obtenu.
Le rayon R détermine la position de I, tandis que la distance IM détermine celle de M'. Il faut donc connaître à la fois le cercle et M pour construire l'image. La couleur, l'épaisseur du tracé et l'échelle du dessin ne changent rien, à condition que les alignements et les distances soient respectés. Ces données suffisent à construire M' à la règle et au compas.
Un exemple, pas à pas
Prenons un cercle de centre O et de rayon 5 unités. Sur une même demi-droite, plaçons M à 8 unités de O. Le point I est l'intersection de cette demi-droite avec le cercle, donc OI = 5. La construction met en évidence les deux segments égaux de part et d'autre de I.
1. La distance de M à I est IM = 8 − 5 = 3 unités.
2. Plaçons M' sur la demi-droite vers O, à 3 unités de I. Alors OM' = 5 − 3 = 2 unités.
3. Le résultat est donc un point M' situé à 2 unités de O, à l'intérieur du cercle.
Le contrôle est direct : le milieu des coordonnées radiales 8 et 2 vaut (8 + 2) ÷ 2 = 5. Il coïncide bien avec I, et les longueurs IM et IM' valent toutes deux 3 unités.
En pratique
Sur une figure, on construit d'abord la demi-droite [OM), puis son intersection I avec le cercle. Un compas ouvert sur IM reporte ensuite cette longueur de l'autre côté de I sur la droite (OM).
Pour contrôler deux points proposés, il suffit de vérifier leur alignement avec I et l'égalité IM = IM'. Si l'une de ces deux conditions échoue, les points ne forment pas la paire définie par cette construction.
Lorsque le problème exige au contraire un produit de distances constant, il faut employer l'inversion géométrique. Le critère observable est alors OM × OM' = R2, et non l'égalité des distances à I.
À ne pas confondre
Avec l'inversion géométrique. Dans une inversion de centre O et de rayon R, M et son image restent sur une même demi-droite et vérifient OM × OM' = R2. Ici, I est le milieu de [MM']. Avec R = 5 et OM = 8, la présente construction donne OM' = 2, tandis que l'inversion donnerait OM' = 25 ÷ 8 = 3,125.
Avec la symétrie centrale de centre O. Celle-ci impose que O soit le milieu de [MM']. Ici, le milieu est le point variable I situé sur le cercle. Dans l'exemple, la symétrie centrale placerait l'image à 8 unités de O sur la demi-droite opposée, et non à 2 unités sur [OM).
Avec la symétrie axiale. Une symétrie axiale utilise une droite fixe comme médiatrice de [MM']. Ici, lorsque M ≠ I, la médiatrice dépend de M : elle passe par I et est perpendiculaire à (OM). Lorsque M = I, le point est fixe et le segment [MM'] est dégéné : il ne détermine pas de médiatrice unique.
Limites et pièges
Au centre. Pour M = O, la demi-droite [OM) n'a pas de direction unique. Le point I, puis M', ne sont donc pas déterminés ; il faut exclure O du domaine.
Sur le cercle. Si OM = R, alors M = I et M' = M. Le point n'est pas placé strictement de l'autre côté du cercle : c'est un point fixe.
Au seuil OM = 2R. La formule donne M' = O, mais la transformation ne peut ensuite pas être réappliquée à O. Pour OM > 2R, M' passe sur la demi-droite opposée à [OM) ; l'image n'est donc plus entre O et I.
L'expression « de part et d'autre du cercle » a une portée limitée. Elle décrit correctement le cas 0 < OM < 2R, hors points fixes. Pour OM > 3R, M et M' sont même tous deux à l'extérieur du cercle. Il faut toujours revenir à la condition exacte : I est le milieu de [MM'].
Pour aller plus loin
La symétrie centrale isole le geste élémentaire : ici, le centre est I, variable avec la direction issue de O.
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