courbe anallagmatique

Imaginez un cercle fixé autour d’un point O. À chaque point P du dessin, l’inversion associe un point P′ placé sur la même demi-droite issue de O. Plus P est proche de O, plus P′ en est éloigné, selon une règle constante.

Après avoir déplacé ainsi tous les points d’une courbe anallagmatique, le tracé final recouvre le tracé initial. Cela ne signifie pas que chaque point reste immobile : deux points peuvent notamment échanger leurs rôles sur la courbe.

Fixons une inversion de centre O et de puissance positive p. Pour tout point P distinct de O, son image P′ appartient à la demi-droite OP et vérifie $OP\times O{P}^{\mathrm{\prime }}=pOP\backslash times\; OP\text{'}=p$. Si R désigne le rayon du cercle d’inversion, alors p = R². Une courbe est anallagmatique pour cette inversion lorsque l’image de l’ensemble de ses points est cette même courbe. Cette propriété dépend donc du centre et de la puissance choisis.

L’invariance est globale, et non nécessairement point par point. Un point situé sur le cercle d’inversion est fixe ; un point situé ailleurs peut être envoyé vers un autre point de la courbe. Un cercle orthogonal au cercle d’inversion en donne un exemple simple : l’inversion le transforme en lui-même.

Théodore Moutard a étudié ces courbes en 1864. Pour une puissance d’inversion positive, la source donne une caractérisation géométrique : la courbe peut être engendrée comme enveloppe d’une famille de cercles orthogonaux au cercle d’inversion, dont les centres parcourent l’une des courbes déférentes associées. Cette description relie les courbes anallagmatiques aux faisceaux de cercles. La lemniscate de Bernoulli et certaines cassiniennes comptent parmi les courbes classiques possédant cette propriété.

On rencontre une courbe anallagmatique dans une figure d’inversion plane. Le dessin indique généralement un centre O, un cercle d’inversion, une courbe étudiée et des couples de points P et P′ alignés avec O. Les points d’un couple se trouvent sur une même demi-droite lorsque la puissance est positive.

Le marqueur décisif n’est pas la symétrie visuelle du tracé. Il faut que l’inversion envoie chaque point admissible sur un point de la courbe et que tout point de la courbe soit ainsi retrouvé. La figure porte donc une information de stabilité par transformation, pas seulement une forme reconnaissable.

La grandeur à contrôler est la puissance de l’inversion, c’est-à-dire le produit des distances de O à deux points images.

1. Repérez le centre O et le rayon R du cercle d’inversion. La convention usuelle de puissance positive donne p = R² et place P′ sur la demi-droite OP.

2. Choisissez un point P de la courbe, différent de O. Sur sa demi-droite, situez P′ de façon que $O{P}^{\mathrm{\prime }}=p\mathrm{/}OPOP\text{'}=p/OP$.

3. Contrôlez que P′ appartient encore à la courbe. Répétez le raisonnement de manière générale, par une équation ou une propriété géométrique ; quelques points bien placés ne constituent pas une preuve.

4. Vérifiez aussi la réciproque. L’inversion appliquée deux fois rend le point de départ, ce qui permet de conclure à l’égalité des ensembles lorsque la première inclusion est établie. L’œil peut croire qu’un tracé symétrique suffit ; le bon réflexe consiste à contrôler la relation métrique imposée par O et p.

Dans un repère orthonormé, prenons O(0, 0), un cercle d’inversion de rayon 3 et le cercle Γ de centre C(5, 0) et de rayon 4. La puissance vaut 9.

1. La distance entre les centres vaut OC = 5. Les deux rayons vérifient :

2. Le cercle Γ est donc orthogonal au cercle d’inversion. Un cercle orthogonal est conservé globalement par cette inversion : Γ est anallagmatique.

3. Contrôlons un couple de points. Le point P(1, 0) appartient à Γ, car CP = 4. Son image est sur la demi-droite OP et sa distance à O vaut $O{P}^{\mathrm{\prime }}=9\mathrm{/}1=9OP\text{'}=9/1=9$. Ainsi P′ = (9, 0), et CP′ = 4 : P′ appartient également à Γ.

4. Le contrôle est réversible : l’image de P′ se trouve à la distance 9/9 = 1 de O, donc redonne P. La construction illustrée matérialise ce déplacement sans changer le cercle Γ comme ensemble.

Pour tester un cercle, on compare la distance d entre son centre et le centre d’inversion avec les deux rayons R et r. Si d² = R² + r², les cercles sont orthogonaux et le cercle testé est conservé. À défaut, un cercle ne passant pas par le centre d’inversion est envoyé sur un autre cercle, tandis qu’un cercle passant par ce centre est envoyé sur une droite.

Pour une courbe donnée par une équation, on remplace les coordonnées d’un point par celles de son image et on simplifie. Cette vérification symbolique est préférable à un dessin lorsque le tracé semble se recouvrir sans que l’échelle permette de le certifier.

Pour une construction par enveloppe, on choisit une famille de cercles orthogonaux au cercle d’inversion et on suit leurs points de contact successifs. Cette approche est adaptée lorsque la courbe déférente des centres est connue ; un test direct est plus court pour un cercle isolé.

Un point fixe de l’inversion. Pour une puissance positive, un point du cercle d’inversion reste à sa place. Une courbe anallagmatique n’est pas nécessairement formée de points fixes : dans l’exemple, P(1, 0) devient P′(9, 0), tandis que le cercle Γ reste le même.

Une symétrie axiale. La réflexion envoie un point de l’autre côté d’une droite en conservant sa distance à cette droite. L’inversion positive garde la demi-droite issue de O et rend les distances radiales réciproques. Un dessin symétrique par rapport à une droite ne suffit donc pas à établir l’anallagmaticité.

Le centre d’inversion. Dans le plan euclidien ordinaire, O n’a pas d’image par la formule car OP = 0 rend impossible le produit imposé. Si la courbe passe par O, il faut retirer ce point du domaine ou annoncer explicitement un cadre étendu comprenant un point à l’infini.

Une puissance négative. L’image se place alors sur la demi-droite opposée, et il n’existe pas de cercle d’inversion réel de rayon R tel que p = R². La caractérisation par des cercles orthogonaux donnée dans la source concerne la puissance positive ; elle ne doit pas être transposée sans nouveau cadre.

Un contrôle sur quelques points. Même si plusieurs couples P, P′ tombent sur le tracé, une portion oubliée peut sortir de la courbe. Il faut établir la propriété pour tout point admissible, de préférence par l’équation ou une construction valable sur l’ensemble.

Des composantes échangées. Une courbe non connexe peut être invariante comme ensemble alors que l’inversion permute deux de ses composantes. Il faut examiner l’ensemble complet avant d’affirmer que chaque branche est elle-même anallagmatique.

La fiche lemniscate de Bernoulli présente une courbe classique citée parmi les exemples de courbes possédant une propriété anallagmatique.