GéométrieObjet géométrique · Glossaire
caustique d'un cercle
La caustique d'un cercle est l'enveloppe des rayons issus d'une source ponctuelle après leur réflexion sur un miroir circulaire : c'est la courbe où des rayons réfléchis voisins se concentrent. Sa forme dépend de la position de la source par rapport au cercle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la caustique comme enveloppe des rayons réfléchis.
- Relier la position de la source à la cardioïde ou à la néphroïde.
- Refaire la paramétrisation d'une néphroïde pour un cercle de rayon 4 cm.
- Distinguer l'enveloppe idéale de la portion lumineuse réellement visible.
En clair
Une tasse éclairée peut montrer, sur son fond, une ligne brillante plus intense que le reste. La paroi circulaire renvoie chaque rayon dans une direction différente. Là où des rayons réfléchis voisins se resserrent, leurs lignes dessinent une courbe : la caustique.
La position de la lampe change cette courbe. Une source placée sur le cercle conduit à une cardioïde, avec une pointe. Des rayons parallèles, modèle d'une source très lointaine, conduisent à une néphroïde, avec deux pointes.
Définition
On considère un cercle réfléchissant et une source ponctuelle. En chaque point d'impact, le rayon incident est réfléchi avec le même angle par rapport à la normale au cercle, c'est-à-dire la droite passant par le centre et le point d'impact. Les droites qui portent tous ces rayons réfléchis forment une famille. Leur enveloppe est la caustique : chaque portion régulière de cette courbe est tangente à un rayon de la famille, et peut être approchée par l'intersection de deux rayons réfléchis voisins.
La caustique dépend de la position de la source. Si la source appartient au cercle, l'enveloppe complète est une cardioïde, donc une courbe à un point de rebroussement. Si la source est à l'infini dans une direction donnée, les rayons incidents sont parallèles et l'enveloppe complète est une néphroïde à deux points de rebroussement. Une source extérieure à distance finie produit la caustique générale du cercle, distincte de ces deux cas particuliers.
De quoi c'est fait
La construction réunit cinq éléments. La source fixe les rayons incidents. Le cercle fournit les points d'impact et, par son centre, la normale en chacun de ces points. La loi de la réflexion transforme chaque rayon incident en rayon réfléchi. Enfin, l'enveloppe de la famille réfléchie forme la caustique.
Deux dépendances sont essentielles : déplacer la source modifie les directions incidentes, donc toute l'enveloppe ; changer le rayon du miroir agrandit ou réduit la figure dans la même proportion. En revanche, l'épaisseur du trait, la couleur et l'orientation du dessin ne définissent pas la caustique.
Pour des rayons parallèles et un cercle de rayon 4 cm, la figure rend visibles le miroir, plusieurs rayons réfléchis tangents et la néphroïde qu'ils enveloppent.
Un exemple, pas à pas
Prenons un miroir circulaire de centre O et de rayon R = 4 cm. Les rayons incidents sont parallèles à l'axe horizontal et arrivent de la gauche. Un point d'impact P est repéré par l'angle t, mesuré depuis l'axe horizontal.
1. Les coordonnées du point d'impact sont données par , en centimètres. La normale en P est portée par OP.
2. La direction incidente est (1, 0) et la normale unitaire en P est . La loi de la réflexion donne alors , puis le rayon réfléchi . Pour trouver son point de tangence avec l'enveloppe, on impose que la dérivée partielle de L par rapport à t, en gardant u indépendant, soit colinéaire à d(t) : cette condition sélectionne le point du rayon où la famille devient tangente à son enveloppe. Ici, , donc . En annulant ce déterminant, on obtient .
3. En remplaçant u par dans L, les coordonnées de l'enveloppe se simplifient en :
Cette paramétrisation est celle d'une néphroïde.
4. Pour t = 0, on obtient C(0) = (2 ; 0) cm. Pour t = π, on obtient C(π) = (−2 ; 0) cm. Ces deux valeurs sont les points de rebroussement.
5. Un contrôle direct consiste à remplacer t par π/2 : C(π/2) = (0 ; 4) cm, point situé sur le cercle. La symétrie par rapport aux deux axes confirme aussi que les valeurs opposées de t donnent les branches attendues.
En pratique
Dans une tasse ou un récipient à paroi circulaire, une source éloignée produit des rayons presque parallèles. On repère alors une ligne brillante proche d'un arc de néphroïde. Si la lampe est proche, ce modèle n'est plus le bon : il faut conserver sa position réelle.
Dans une construction géométrique, on trace plusieurs rayons réfléchis puis les intersections de rayons voisins. Cette méthode donne une approximation visuelle de l'enveloppe. Pour obtenir des coordonnées précises ou les pointes, on préfère la paramétrisation et le calcul d'enveloppe.
Pour identifier la courbe, on commence par la source : sur le cercle, on attend une cardioïde ; très loin, donc avec des rayons parallèles, une néphroïde. Le nombre de points de rebroussement fournit ensuite un contrôle observable.
À ne pas confondre
La caustique n'est pas un rayon réfléchi particulier. Un rayon est une demi-droite orientée ; sa droite support appartient à la famille dont la caustique est l'enveloppe. Un tracé ne montrant qu'un seul rayon ne suffit donc pas à la déterminer.
La cardioïde et la néphroïde ne sont pas deux noms pour la même courbe. Dans ce problème, la première correspond à une source sur le cercle et possède une pointe ; la seconde correspond aux rayons parallèles et possède deux pointes.
Une caustique géométrique n'est pas toute la zone lumineuse observée. La courbe idéale localise l'enveloppe des rayons ; la largeur réelle de la bande brillante dépend notamment de la taille de la source et des imperfections du miroir.
Limites et pièges
Une source « à l'infini » est une idéalisation. Le symptôme d'une source trop proche est que les rayons incidents ne sont pas parallèles et que la courbe s'écarte de la néphroïde. Il faut alors utiliser la position finie de la source dans la construction.
La néphroïde complète décrit l'enveloppe de la famille idéale associée à tous les points du cercle. Dans un miroir matériel, seule la partie effectivement éclairée et réfléchissante contribue à la trace visible ; on peut donc n'observer qu'un arc de la courbe.
Au cas charnière où la source est exactement sur le cercle, le point source lui-même ne définit pas un rayon incident ordinaire. On exclut ce point de la famille, puis on prend l'enveloppe limite : la courbe obtenue est la cardioïde.
Les points de rebroussement sont singuliers : la tangente limite existe, mais la courbe n'y est pas régulière au sens usuel. Pour les étudier, il faut examiner la paramétrisation près des valeurs où sa dérivée s'annule, pas appliquer sans précaution une formule supposant une dérivée non nulle.
Pour aller plus loin
La fiche cardioïde approfondit la courbe à une pointe obtenue lorsque la source se trouve sur le miroir circulaire.
La fiche néphroïde détaille la courbe à deux pointes qui apparaît pour une famille de rayons incidents parallèles.
La fiche épicycloïde situe la néphroïde dans une famille de courbes engendrées par le roulement d'un cercle.
La fiche Réflexion revient sur la loi qui relie le rayon incident, la normale au miroir et le rayon réfléchi.
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