Histoire et cultureNotion · Glossaire
Tschirnhaus Ehrenfried Walter von
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus est un mathématicien et physicien allemand dont les travaux portent notamment sur les équations algébriques et l’optique géométrique. Il étudie les caustiques, enveloppes des rayons lumineux réfléchis ou réfractés par des courbes algébriques, et démontre qu’elles sont rectifiables. Pour des rayons incidents perpendiculaires à l’axe d’une parabole, sa caustique par réflexion est la cubique de Tschirnhaus.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Tschirnhaus dans le temps, sa formation et ses principaux domaines de recherche.
- Identifier une caustique comme enveloppe de rayons réfléchis ou réfractés.
- Suivre le cas de la parabole associé à la cubique de Tschirnhaus.
- Distinguer la caustique, les rayons qui l’engendrent et le cas cubique particulier.
En clair
En 1683, les recherches de Tschirnhaus sur les équations algébriques paraissent dans Acta Eruditorum. Ce mathématicien et physicien allemand ne sépare pourtant pas le calcul de l’expérience : il fait aussi construire des lentilles, des miroirs et des verreries de grande qualité.
Son nom reste surtout attaché aux caustiques, ces courbes que dessinent les enveloppes de rayons lumineux réfléchis ou réfractés. Il relie ainsi géométrie, algèbre et optique, jusque dans la cubique de Tschirnhaus associée à une parabole.
Définition
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, aussi orthographié Tschirnhausen, est un mathématicien et physicien allemand né en 1651 et mort en 1708. Élevé par des précepteurs jusqu’à quinze ans, il étudie ensuite les mathématiques, la philosophie, la physique et la médecine à l’université de Leyde. Un long séjour européen le met en relation avec plusieurs savants et philosophes, dont Leibniz, avec qui il échange régulièrement sur les mathématiques et la physique. Il poursuit plus tard ses recherches dans son domaine héréditaire.
Ses travaux concernent la résolution des équations algébriques, avec une publication dans Acta Eruditorum en 1683, et l’optique géométrique. Une caustique de Tschirnhaus est l’enveloppe des rayons lumineux réfléchis ou réfractés par une courbe algébrique : chacun de ces rayons est tangent à la courbe enveloppe. Tschirnhaus démontre que les caustiques des courbes algébriques sont rectifiables. Dans le cas particulier donné par la source, la réflexion sur une parabole de rayons incidents perpendiculaires à son axe produit la cubique de Tschirnhaus.
Ses activités comprennent aussi la fabrication de lentilles, de miroirs et de verre de haute qualité. Co-inventeur d’une porcelaine comparable à celle de Chine, il laisse enfin deux traités de philosophie morale, Medicina corporis et Medicina mentis. Élu membre associé de l’Académie des sciences de Paris en 1699, son parcours peut se lire à travers quatre repères datés, de 1651 à 1708.
Un exemple, pas à pas
Prenons le cas optique cité dans la source. Les données sont une parabole, son axe, plusieurs rayons lumineux incidents perpendiculaires à cet axe et leur réflexion sur la courbe. L’objectif est d’identifier la caustique obtenue, sans lui attribuer une équation qui n’est pas fournie ici.
1. Traçons plusieurs rayons incidents parallèles entre eux, puisque chacun est perpendiculaire à l’axe de la parabole.
2. Repérons le point où chaque rayon rencontre la parabole, puis suivons le rayon réfléchi correspondant.
3. Cherchons une courbe tangente à l’ensemble de ces rayons réfléchis. Cette courbe enveloppe est la caustique par réflexion de la parabole dans la configuration choisie.
4. Le résultat nommé par la source est la cubique de Tschirnhaus. Pour contrôler la construction, il faut vérifier deux éléments : les rayons incidents gardent tous la direction imposée et chaque rayon réfléchi est tangent à la même enveloppe.
En pratique
Pour lire une figure d’optique. On distingue la courbe réfléchissante, les rayons incidents, les rayons réfléchis et leur enveloppe. Une simple trajectoire lumineuse suffit si l’on suit un seul rayon ; la caustique devient pertinente quand on observe toute une famille de rayons.
Pour relier géométrie et algèbre. On part d’une courbe algébrique, puis on étudie l’enveloppe produite par réflexion ou réfraction. Dans le cas de la parabole retenu par la source, cette démarche conduit à une courbe cubique portant le nom de Tschirnhaus.
Pour situer un savant. On rapproche ses publications, ses instruments et ses réalisations matérielles. Chez Tschirnhaus, les équations algébriques, l’optique, le verre et la porcelaine témoignent d’une recherche qui passe du raisonnement à la fabrication.
À ne pas confondre
Une caustique et un rayon lumineux. Un rayon est une trajectoire de la famille étudiée ; la caustique est leur enveloppe. Sur une construction, le critère décisif est la tangence : plusieurs rayons réfléchis ou réfractés touchent la même courbe enveloppe.
La cubique de Tschirnhaus et toute caustique de Tschirnhaus. Le premier nom vise le cas particulier de la parabole et des rayons incidents perpendiculaires à son axe cité par la source. Le second couvre plus largement des enveloppes issues de courbes algébriques par réflexion ou réfraction.
Limites et pièges
Famille de rayons mal définie. Une courbe réfléchissante seule ne détermine pas la caustique. Si la direction des rayons incidents ou le choix entre réflexion et réfraction manque, l’enveloppe recherchée reste indéterminée ; il faut d’abord préciser la configuration optique.
Cas particulier étendu à tort. La conclusion « cubique de Tschirnhaus » vaut ici pour une parabole et des rayons incidents perpendiculaires à son axe. Si l’une de ces deux conditions change, il faut reconstruire l’enveloppe au lieu de conserver automatiquement ce nom.
Rectifiabilité sortie de son domaine. Le résultat rapporté par la source porte sur les caustiques de courbes algébriques. Pour une courbe qui ne relève pas de ce cadre, cette seule affirmation ne suffit pas ; la longueur de la caustique doit être étudiée séparément.
Priorité historique rendue absolue. La source présente Tschirnhaus comme étant considéré le premier à avoir étudié les caustiques. Cette formulation exprime une attribution historiographique ; elle ne doit pas être transformée en date précise ou en exclusivité plus forte.
Pour aller plus loin
La fiche caustique approfondit la notion d’enveloppe formée par une famille de rayons réfléchis ou réfractés.
L’entrée parabole précise la courbe qui intervient dans le cas particulier conduisant à la cubique de Tschirnhaus.
La fiche courbe algébrique éclaire le cadre dans lequel la source situe les caustiques étudiées par Tschirnhaus.
L’article Les caustiques prolonge l’étude géométrique de ces courbes lumineuses au-delà du portrait du savant.
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