GéométrieNotion · Glossaire
caustique
En optique géométrique, une caustique est l'enveloppe d'une famille de rayons lumineux après leur réflexion ou leur réfraction par une surface ou une courbe. Sa forme indique où les rayons se concentrent et dépend de la géométrie de l'objet ainsi que de la position de la source.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une caustique comme enveloppe de rayons réfléchis ou réfractés.
- Construire le cas du miroir circulaire éclairé depuis un point de son bord.
- Distinguer catacaustique, diacaustique, caustique au flambeau et caustique au soleil.
- Relier la cardioïde et la néphroïde à la position de la source.
En clair
Imaginez de nombreux rayons lumineux qui partent d’un même point et rencontrent une surface. Après leur réflexion ou leur réfraction, ces rayons ne se répartissent pas toujours uniformément. Ils dessinent une famille de droites dont une courbe semble former le bord : c’est la caustique.
La forme observée change avec la surface et la place de la source. Pour un cercle réfléchissant éclairé depuis un point du cercle, l’enveloppe obtenue est une cardioïde. Avec une source placée très loin, elle devient une néphroïde.
Définition
En optique géométrique, une caustique est l’enveloppe d’une famille de rayons issus d’une source après leur interaction avec une surface ou une courbe. Ici, une enveloppe est une courbe à laquelle les rayons de la famille sont localement tangents. Si les rayons sont réfléchis, la caustique est une catacaustique. S’ils sont réfractés, c’est une diacaustique.
La position de la source compte autant que la géométrie de la surface. Une source à distance finie donne une caustique au flambeau. Une source à distance infinie donne une caustique au soleil. Dans le cas d’un miroir circulaire, une source ponctuelle placée sur le cercle produit par réflexion une cardioïde, tandis qu’une source à l’infini produit une néphroïde. Selon la configuration, l’enveloppe peut aussi prendre d’autres formes, notamment une spirale logarithmique ou une chaînette.
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus a étudié les caustiques en 1681. Jacques Bernoulli et Philippe de La Hire ont ensuite approfondi cette notion, aujourd’hui employée en optique instrumentale, en acoustique et en physique des ondes.
Un exemple, pas à pas
Prenons un miroir circulaire et une source ponctuelle S placée sur son bord. Le but est de construire la caustique produite par réflexion. La figure associée conserve cette même configuration et permet de contrôler visuellement chaque étape.
Données
Un cercle réfléchissant.
Une source lumineuse ponctuelle S située sur le cercle.
Plusieurs rayons incidents partant de S et atteignant différents points du cercle.
Une source lumineuse ponctuelle S située sur le cercle.
Plusieurs rayons incidents partant de S et atteignant différents points du cercle.
Construction
1. Tracez plusieurs rayons de S vers le miroir.
2. En chaque point d’impact, construisez le rayon réfléchi en appliquant l’égalité des angles avec la normale au cercle.
3. Répétez la construction pour des points d’impact répartis sur le cercle.
4. Suivez la courbe à laquelle les rayons réfléchis sont tangents : cette enveloppe est la caustique.
2. En chaque point d’impact, construisez le rayon réfléchi en appliquant l’égalité des angles avec la normale au cercle.
3. Répétez la construction pour des points d’impact répartis sur le cercle.
4. Suivez la courbe à laquelle les rayons réfléchis sont tangents : cette enveloppe est la caustique.
Le résultat est une cardioïde, donc une catacaustique. Pour refaire le contrôle, ajoutez des rayons entre deux constructions existantes : ils doivent rester tangents à la même courbe et en préciser le contour.
En pratique
En optique instrumentale. On suit les rayons après leur rencontre avec un composant. Si le composant réfléchit, on recherche une catacaustique ; s’il réfracte, on recherche une diacaustique.
En acoustique. On examine l’enveloppe des trajectoires d’ondes sonores. Le critère utile reste la concentration le long d’une enveloppe, plutôt que l’étude isolée d’une seule trajectoire.
En physique des ondes. La même idée relie une famille de trajectoires à la forme qui les enveloppe. Pour choisir le bon cas, on identifie d’abord si le phénomène observé relève d’une réflexion ou d’une réfraction.
À ne pas confondre
Un foyer. Un foyer désigne un point où des rayons convergent, tandis qu’une caustique est l’enveloppe d’une famille de rayons. Dans le cas du miroir circulaire éclairé depuis son bord, le tracé donne une cardioïde et non un unique point.
Une cardioïde. La cardioïde est une forme de courbe ; la caustique est définie par la manière dont une famille de rayons est produite. La cardioïde n’apparaît ici que pour la configuration circulaire avec une source sur le cercle.
Limites et pièges
La forme n’est pas toujours une cardioïde. Ce tracé signale seulement le cas d’une surface circulaire éclairée depuis un point du cercle. Si la source est à l’infini, la forme attendue pour le cercle est une néphroïde ; il faut donc reprendre la position de la source avant de nommer la courbe.
La distance de la source change la catégorie. Une source à distance finie conduit à une caustique au flambeau. Une source idéalisée à distance infinie conduit à une caustique au soleil. Ne déduisez pas l’une de l’autre sans modifier cette hypothèse.
Le mécanisme doit être identifié. Une enveloppe issue d’une réflexion est une catacaustique ; une enveloppe issue d’une réfraction est une diacaustique. Le trajet des rayons au contact de la surface tranche entre les deux noms.
La géométrie ne suffit pas à elle seule. Une même surface peut produire des enveloppes différentes lorsque la position de la source change. Pour interpréter un tracé, il faut donc conserver ensemble la surface, la source et le type d’interaction.
Pour aller plus loin
cardioïde — Examinez la courbe obtenue lorsque la source est placée sur le cercle réfléchissant.
néphroïde — Comparez la forme produite par une surface circulaire quand la source est à l’infini.
Les caustiques — Prolongez l’étude des enveloppes de rayons et de leurs configurations géométriques.
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