Le paradoxe de Richard
Prenons les vingt-six lettres de l’alphabet et ordonnons, par ordre alphabétique, tous les arrangements d’une lettre, de deux lettres, de trois lettres… Tout ce qui peut s’écrire se trouve dans la liste ainsi constituée. Biffons de ces arrangements tous ceux qui ne sont pas des définitions de nombres (Jules Richard parle de nombres réels) ; notons u1 le premier nombre de cette liste, u2 le deuxième… Ainsi, tous les nombres que l’on peut définir à l’aide d’un nombre fini de mots forment un ensemble dénombrable. Soit E l’ensemble des arrangements ainsi obtenus.
Richard affirme alors que l’on peut former un nombre n’appartenant pas à cet ensemble. Il nomme G le groupe de lettres suivant : « Soit p la énième décimale du énième nombre de l’ensemble E ; formons un nombre N ayant 0 pour partie entière, et pour énième décimale, p+1 si p n’est égal ni à 8 ni à 9, et l’unité dans le cas contraire. » Ce nombre N n’appartient pas à l’ensemble E puisque, s’il était égal à mettons un, son nème chiffre serait le nème chiffre décimal de un, ce qui n’est pas. Or, N est défini par les mots de G, c’est-à-dire un nombre fini de mots ; il devrait donc appartenir à l’ensemble E !
