Au congrès international des mathématiciens de 1900, David Hilbert proposa vingt-trois problèmes qui structurèrent les travaux mathématiques du XXe siècle. Pour conforter son idée axiomatique, il proposa de « démontrer la consistance de l’arithmétique de Peano », c’est-à-dire qu’à partir des axiomes de l’arithmétique et des règles de déduction formelles, on ne peut avoir à la fois une assertion et son contraire. Il s’agit de bon sens direz-vous, « 2 + 2 = 5 » ou non ! Pourtant, personne ne l’avait démontré dans cette généralité avant que Hilbert pose ce problème… et Kurt Gödel prouva trente ans plus tard que c’était faux !
En réalité, le logicien autrichien démontra bien plus : dans tout système axiomatique contenant l’axiomatique de Peano, il existe des assertions dont on ne peut prouver ni la vérité ni la fausseté. Les mathématiciens le savaient déjà dans le cas de la géométrie. Le postulat des parallèles est improuvable dans le cadre des axiomes de la géométrie d’Euclide excluant le postulat. Il s’agit d’un axiome qui s’exprime de la façon suivante de nos jours : « Un point A et une droite D étant donnés, il passe par A une et une seule droite parallèle à D. »
En le remplaçant par un axiome niant l’existence de parallèles, on obtient une autre géométrie, la géométrie sphérique. En le remplaçant par un axiome affirmant l’existence de plusieurs parallèles, on obtient la géométrie hyperbolique.
Des assertions improuvables
En tenant compte du temps et de l’énergie qui nous sont alloués, il est facile de démontrer qu’il existe des assertions dont il est humainement impossible de prouver la vérité ou la fausseté. On dit que de telles assertions sont indécidables. Pour cela, il suffit de considérer la notion de longueur d’une preuve. Comme il existe une infinité d’assertions prouvables (par exemple les assertions du type « le nombre n est premier ») et que leurs preuves sont distinctes, il en existe d’aussi longues que l’on veut. On peut considérer qu’au-delà d’une certaine longueur (10100 par exemple, ce qui représente plus que le nombre d’électrons dans l’univers), une preuve est humainement inaccessible, même avec l’aide d’un puissant ordinateur. Cela n’est que bon sens, mais Gödel affirme bien plus que cela. L’arithmétique (avec les axiomes de Peano) contient des assertions indécidables… et il en exhibe. L’exemple donné en encadré peut faire penser que le problème tient à ce que l’on a « oublié » un axiome (ici celui du choix) dans l’arithmétique de Peano. Vous pouvez l’ajouter : il existera d’autres assertions improuvables dans ce nouveau système (par le théorème de Gödel), et ainsi de suite. L’ajout de nouveaux axiomes ne permet en aucun cas de contourner le résultat de Gödel.
