La convergence des séries de Fourier était un domaine de recherche important dans les années 1860–70. Pour une fonction périodique « suffisamment régulière », le résultat ne posait aucun problème, mais un phénomène étrange apparaissait parfois : la convergence de la série pouvait se produire en des points pour lesquels la fonction périodique n’était même pas continue.
Antinomies dans les ordinaux --------------------------------
Le mathématicien allemand Georg Cantor est encore tout jeune lorsqu’il se penche sur ce problème. Il s’interroge sur les domaines de non-continuité de telles fonctions, ce qui le conduit à développer la théorie des ensembles et, surtout, celle des cardinaux infinis. Il considère alors que deux ensembles A et B ont le même cardinal (fini ou non) si l’on peut établir une bijection entre eux, c’est-à-dire qu’à chaque élément de A, on puisse faire correspondre de manière unique un élément de B et qu’inversement, chaque élément de B n’est l’image que d’un et un seul élément de A. Il montre alors que l’ensemble des entiers et celui des nombres rationnels sont le même cardinal, qu’il y a autant de points sur une droite que dans un plan. Mais tous les cardinaux infinis seraient-ils égaux ? Cantor montre que non dans un article publié en 1874, dans lequel il justifie qu’il n’existe aucune bijection entre les nombres entiers et les nombres réels. Sa démonstration est difficile et ce n’est qu’en 1891 qu’il donne une preuve limpide et historique, connue sous le nom de diagonale de Cantor (voir les Ensembles, Bibliothèque Tangente 61, 2017). Par la même occasion, il justifie qu’il existe une infinité de nombres transcendants, c’est-à-dire n’étant solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers, alors qu’on sait avec quelles difficultés Charles Hermite et Carl Lindemann avaient justifié la transcendance de e et de π en 1873 et 1882.
Cantor cherche à donner le statut de nombre aux différents cardinaux infinis, donnant ainsi vie aux ordinaux. Il souhaite en particulier définir un ordre total, comme c’est le cas pour les nombres entiers (qui correspondent aux cardinaux finis). S’inspirant de ces derniers, il dit que l’ordinal de l’ensemble A est inférieur (ou égal) à celui de l’ensemble B s’il existe une injection de A dans B ; ceci généralise ce qui se passe dans le cas fini.
Pour parachever sa théorie des ordinaux, Cantor a besoin de deux résultats. Le premier dit qu’étant donnés deux ensembles A et B, soit il existe une injection de A vers B, soit il en existe une de B vers A, ce qui assure que l’ordre est total. Le second, connu sous le nom de théorème de Cantor–Bernstein, affirme que, deux ensembles E et F étant donnés, s’il existe une injection de E dans F, et une de F dans E, alors les deux ensembles sont en bijection. On peut donc ordonner les ordinaux comme on le fait pour les cardinaux finis.