transformation par polaires réciproques

Imaginez un point qui se déplace sur une courbe. Par rapport à un cercle fixé, chaque position du point commande une droite, appelée sa polaire. Lorsque toutes ces droites sont tracées, elles viennent toucher une nouvelle courbe : leur enveloppe.

La transformation par polaires réciproques fait ainsi passer d'une courbe à une autre en échangeant le rôle des points et des droites. On obtient la même transformée en prenant, pour chaque tangente à la courbe de départ, le point appelé pôle qui lui correspond.

Fixons un cercle (C). La polarité associée à (C) met en correspondance un point et une droite : au point M correspond sa polaire, et toute droite possède un pôle dans le plan projectif. Dans le plan affine, ce pôle est affine exactement lorsque la droite ne passe pas par le centre du cercle. La transformation par polaires réciproques d'une courbe Γ est l'enveloppe des polaires des points de Γ. Dans le cadre projectif, avec les clôtures nécessaires, elle s'identifie de manière duale au lieu des pôles des tangentes à Γ, lorsque ces tangentes sont définies.

Dans un repère orthonormé centré au centre du cercle unité, un point M de coordonnées (u, v), distinct du centre, a pour polaire la droite d'équation :Réciproquement, une droite écrite sous cette forme a M pour pôle. Pour un cercle de rayon R non nul, le membre de droite devient R² si les coordonnées sont mesurées dans le même repère.

Cette correspondance est une dualité point-droite liée à la conique (C). Elle transforme les relations d'incidence et de tangence : une famille de points portée par Γ devient une famille de droites tangentes à la transformée. Le langage projectif inclut les éléments à l'infini ; dans le seul plan affine, certains cas peuvent donc disparaître de la figure.

Prenons un repère orthonormé et le cercle de référence (C) de centre O et de rayon 1. La courbe Γ est le cercle de même centre et de rayon 2. Nous cherchons sa transformée Γ*.

Données.
(C) a pour équation $x^2+y^2=1x^2+y^2=1$.
Un point M de Γ est repéré par le paramètre t : $M=(2\cos t,2\sin t)M=(2\backslash cos\; t,2\backslash sin\; t)$.
La polaire d'un point (u, v) a pour équation $ux+vy=1u\; x+v\; y=1$.

1. En remplaçant u et v par les coordonnées de M, la polaire devient :

2. Sa distance au centre O vaut exactement 1/2. Son vecteur normal pointe dans la direction de M ; cette droite est donc tangente au cercle centré en O et de rayon 1/2.

3. Lorsque t parcourt un tour, le point de tangence parcourt tout ce petit cercle. L'enveloppe des polaires est donc Γ*, le cercle de rayon 1/2. La figure rend visible cette réciprocité des rayons 2 et 1/2 autour du cercle unité.

Contrôle. Pour t = 0, M = (2, 0) et sa polaire est x = 1/2. Cette droite touche Γ* au point (1/2, 0), ce qui vérifie le résultat sur un cas refaisable.

Pour construire graphiquement une transformée, on choisit plusieurs points réguliers de la courbe, puis on trace leurs polaires. Les droites doivent dessiner une enveloppe. Si les tangentes de la courbe sont déjà connues par leurs équations, chercher leurs pôles est plus direct.

Pour étudier une courbe enveloppe, la transformation remplace une famille de droites par le lieu de leurs pôles. Cette voie est utile lorsque les droites sont simples à paramétrer ; une étude directe de l'enveloppe reste préférable si la polarité introduit des éléments à l'infini.

En géométrie projective, la dualité permet de reformuler un énoncé portant sur des points et des droites. Avant de transférer une conclusion, il faut vérifier que les incidences et les tangences visées sont bien définies dans le cadre projectif choisi.

Avec l'inversion par rapport à un cercle. L'inversion associe un point à un autre point situé sur la même droite passant par le centre. La polarité associe un point à une droite. Ainsi, le point (2, 0) devient (1/2, 0) par inversion dans le cercle unité, tandis que sa polaire est la droite x = 1/2.

Avec une transformation point par point d'une courbe. Ici, les points de Γ ne deviennent pas directement les points de Γ*. Leurs polaires deviennent les tangentes de Γ*. Les points de Γ* sont, de façon duale, les pôles des tangentes à Γ.

Passage par le centre. Dans le modèle du cercle unité, le centre aurait pour équation polaire 0 = 1, qui ne décrit aucune droite affine. Sa polaire est la droite à l'infini dans le plan projectif. Si Γ passe par le centre, une représentation purement affine perd donc cet élément ; il faut compléter le plan projectivement.

Point singulier. À un point où Γ possède plusieurs tangentes, la description par « la tangente » devient ambiguë et peut produire plusieurs branches du lieu des pôles. Il faut traiter chaque tangente limite séparément, ou définir la courbe duale par clôture projective.

Famille dégénérée. Si Γ est une droite, toutes ses tangentes régulières coïncident avec elle. Le lieu de leurs pôles se réduit alors à un seul point : la transformée n'est pas nécessairement une courbe étendue.

Courbe de référence. Lorsque Γ est le cercle (C) lui-même, la polaire de chaque point de (C) est sa tangente. Leur enveloppe est encore (C) : ce cercle est un cas fixe de la transformation.

La géométrie projective fournit le cadre où points, droites et éléments à l'infini participent à une même dualité. Elle clarifie pourquoi une incidence dans une courbe peut devenir une tangence dans sa transformée.

L'article Des enveloppes caustiques prolonge l'idée d'une courbe créée comme enveloppe d'une famille de droites. Tangente ou asymptote ? aide à préciser le rôle local d'une tangente avant de passer à son pôle.