théorème de Frégier

Imaginez une ellipse et un point A posé sur son bord. À partir de A, deux cordes perpendiculaires déterminent un point particulier, appelé point de Frégier. Le théorème relie ensuite trois constructions : une transformation projective centrée en A, la polaire du point de Frégier et une réduction de rapport 1/2.

Lorsque ces éléments occupent exactement les positions prescrites, l'ellipse transformée devient un cercle. Ce cercle conserve avec la conique un contact tangent au point A.

Le théorème de Frégier est un critère portant sur une conique, un point A de cette conique et le point de Frégier F associé à A. Pour construire F, on choisit deux paires de cordes perpendiculaires issues de A. Pour chaque paire, on joint les deux autres extrémités des cordes : les deux droites ainsi obtenues se coupent en F, et ce point est indépendant des paires choisies. La polaire de F est la droite associée à F par la polarité définie par la conique.

On considère aussi une homologie, c'est-à-dire une transformation projective ayant A pour centre et une droite D pour axe. La conique est envoyée sur un cercle exactement lorsque la polaire de F est l'image de D par l'homothétie de centre A et de rapport 1/2. Autrement dit, cette homothétie rapproche de moitié chaque point de D vers A et transforme D en la polaire de F.

La condition est nécessaire et suffisante : elle permet aussi bien de reconnaître une homologie qui circularise la conique que d'imposer la position de son axe. Le cercle obtenu est tangent à la conique initiale en A.

Dans le plan euclidien, soient une conique réelle non dégénérée, munie de sa polarité non dégénérée, un point A situé sur elle, son point de Frégier F, et une homologie H de centre A et d'axe D. Notons h l'homothétie de centre A et de rapport 1/2, et p_F la polaire de F par rapport à la conique. Alors :

Quand cette équivalence est satisfaite, le cercle H(𝒞) est tangent à la conique 𝒞 au point A.

Le cadre est celui d'une conique réelle non dégénérée dans le plan euclidien, munie de sa polarité non dégénérée, et d'un point A appartenant à la conique. Il faut pouvoir construire le point de Frégier F associé à A, puis sa polaire. La transformation considérée doit être une homologie dont le centre est précisément A et dont l'axe est une droite D.

La condition vérifiable porte sur des droites : l'homothétie de centre A et de rapport 1/2 doit envoyer D sur la polaire de F. Si l'axe transformé est une autre droite, le critère échoue et le théorème ne permet pas de conclure que l'image est un cercle. Il faut alors modifier l'axe de l'homologie ou étudier directement la conique image.

Prenons l'ellipse 𝒞 d'équation $x^2\mathrm{/}9+y^2\mathrm{/}4=1x^2/9+y^2/4=1$ et le point A de coordonnées (3, 0). La construction par deux paires de cordes perpendiculaires donne le point de Frégier F de coordonnées (15/13, 0). Sa polaire p_F a donc pour équation x = 39/5.

1. Appliquons à p_F l'homothétie de centre A et de rapport 2. On obtient la droite D d'équation x = 63/5.
2. Le contrôle du rapport donne 3 + (63/5 − 3)/2 = 39/5 : la réduction de D de moitié depuis A redonne bien p_F.
3. Choisissons l'homologie H de centre A et d'axe D définie par :
4. En substituant l'équation de 𝒞, son image vérifie $(x-13\mathrm{/}3{)}^2+y^2=16\mathrm{/}9(x-13/3)^2+y^2=16/9$ : c'est un cercle de centre (13/3, 0) et de rayon 4/3.

Le point A appartient aux deux courbes. Leur tangente en A est la droite verticale x = 3, ce qui contrôle la tangence annoncée par le théorème. La figure matérialise aussi la relation de milieu entre A, p_F et D.

Dans une construction géométrique, le théorème sert à régler l'axe d'une homologie pour transformer une conique en cercle. Le geste décisif consiste à construire la polaire du point de Frégier, puis à la agrandir d'un facteur 2 depuis A.

Pour vérifier une transformation déjà donnée, on réduit son axe de moitié depuis A. Si la droite obtenue coïncide avec la polaire de F, le critère conclut au cercle ; sinon, une étude générale de la conique image reste nécessaire.

La tangence en A fournit enfin un contrôle géométrique complémentaire : le cercle image et la conique doivent avoir la même tangente en ce point.

Le point de Frégier est un point attaché à A et à la conique ; le théorème de Frégier est le critère qui relie ce point à une homologie. Construire seulement F ne suffit donc pas à produire un cercle.

Une homothétie multiplie les distances à son centre par un même rapport. L'homologie du théorème est une transformation projective qui possède un centre et un axe. Ici, l'homothétie de rapport 1/2 ne remplace pas l'homologie : elle sert uniquement à comparer l'axe D à la polaire de F.

La perpendicularité des cordes intervient dans la construction du point de Frégier. Si les cordes choisies ne sont pas perpendiculaires, le point obtenu par la même procédure n'est pas justifié comme point de Frégier ; il faut recommencer avec un angle droit.

Le rapport 1/2 est une condition exacte, non une simple indication de direction. Deux droites parallèles mais mal placées ne satisfont pas le critère. Il faut contrôler que chaque point image est situé à mi-distance de A sur la droite correspondante.

La conclusion concerne l'image de la conique par l'homologie spécifiée. Une transformation projective quelconque, ou une homologie dont le centre n'est pas A, sort du cadre de cet énoncé ; il faut alors employer les critères généraux de classification des coniques.

Le point de Frégier détaille l'objet géométrique placé au cœur du critère.

La conique replace l'ellipse, le cercle et leurs transformations dans une même famille de courbes.

L'homologie en géométrie approfondit cette transformation projective, qui possède un centre et un axe.

L'homothétie précise le rôle du centre et du rapport 1/2 dans le positionnement des droites.