ellipse de Steiner

Dessinez un triangle, puis marquez le milieu de chacun de ses trois côtés. Une seule ellipse peut rester à l’intérieur du triangle tout en touchant précisément ces trois points : l’ellipse de Steiner inscrite. Parmi toutes les ellipses que le triangle peut contenir, c’est celle qui occupe la plus grande aire. Son centre se trouve au point d’équilibre des trois sommets, appelé centre de gravité. Dans un triangle équilatéral, la symétrie est telle que cette ellipse devient simplement le cercle inscrit.

Pour tout triangle non dégénéré, l’ellipse de Steiner inscrite est l’unique ellipse tangente aux trois côtés en leurs milieux. Son centre est le centre de gravité G du triangle. Elle possède aussi une caractérisation extrémale : parmi toutes les ellipses contenues dans le triangle, son aire est maximale. Si S désigne l’aire du triangle et S_e celle de l’ellipse, leur rapport exact est :

Pour relier cette géométrie aux nombres complexes, on note z₁, z₂ et z₃ les affixes des sommets, puis on forme le polynôme P :Les deux racines du polynôme dérivé P′ sont les foyers de l’ellipse. La droite qui les joint minimise la somme des carrés des distances des trois sommets à une droite : c’est leur droite de régression orthogonale.

L’ellipse de Steiner circonscrite a également pour centre G. Elle est l’image de l’ellipse inscrite par l’homothétie de centre G et de rapport 2. Elle passe donc par les trois sommets ; ses tangentes en ces sommets sont parallèles aux côtés opposés. Elle est l’unique ellipse d’aire minimale satisfaisant ces conditions. Pour un triangle équilatéral, l’ellipse inscrite est le cercle inscrit et la circonscrite est le cercle circonscrit. La figure porte le nom de Jacob Steiner (1796-1863), mathématicien suisse considéré comme l’un des plus grands géomètres de son siècle en géométrie synthétique.

La construction repose sur quatre éléments. Le triangle fournit trois sommets et trois côtés. Leurs trois milieux sont les points de tangence imposés : ils déterminent l’ellipse inscrite. Les trois médianes se rencontrent au centre de gravité G, qui devient le centre de l’ellipse. Enfin, deux foyers, symétriques par rapport à G, déterminent son grand axe et la droite de régression orthogonale des sommets.

Les sommets suffisent donc à retrouver les milieux, le centre, l’ellipse et ses foyers. Une homothétie de centre G et de rapport 2 envoie ensuite l’ellipse inscrite, prise comme un ensemble, sur l’ellipse circonscrite. Plus précisément, le point de l’ellipse opposé à chaque milieu par rapport à G est envoyé sur le sommet opposé. La couleur, l’orientation et l’échelle du dessin ne définissent pas l’objet ; seules les relations d’incidence, de tangence et d’homothétie comptent.

Prenons, dans un repère orthonormé, le triangle de sommets A(−3 ; 0), B(3 ; 0) et C(0 ; 6). Sa base et sa hauteur mesurent 6. La figure matérialise les contacts, le centre et les foyers calculés.

1. La moyenne des coordonnées donne le centre de gravité G(0 ; 2). Les milieux sont (0 ; 0), (3/2 ; 3) et (−3/2 ; 3).

2. La symétrie impose les axes du repère. Le contact (0 ; 0) donne le demi-axe vertical 2 ; le contact (3/2 ; 3) donne le demi-axe horizontal √3. L’équation est :

3. L’aire du triangle vaut 6 × 6 / 2 = 18. Celle de l’ellipse vaut π × √3 × 2 = 2π√3. Leur quotient est π/(3√3), soit environ 0,605.

4. Avec les demi-axes 2 et √3, la distance du centre à chaque foyer vaut √(2² − (√3)²) = 1. Les foyers sont (0 ; 1) et (0 ; 3).

5. Remplaçons les coordonnées des trois milieux dans l’équation : le membre de gauche vaut chaque fois exactement 1. Les trois contacts sont ainsi vérifiés.

Pour tracer l’ellipse inscrite, on commence par construire les trois milieux des côtés et le centre de gravité. Un cercle ordinaire ne convient que si le triangle est équilatéral ; sinon, l’ellipse est la conique qui impose les trois tangences aux milieux.

Dans un logiciel de géométrie ou de calcul, une méthode robuste consiste à envoyer un triangle équilatéral sur le triangle étudié par une transformation affine. L’image du cercle inscrit est alors l’ellipse de Steiner. Cette méthode est préférable à un tracé à l’œil dès que les tangences doivent être exactes.

Pour obtenir l’ellipse circonscrite, on double tous les vecteurs partant de G. Le passage par les trois sommets contrôle le résultat. Pour trouver l’orientation qui ajuste au mieux les trois sommets, on joint plutôt les deux foyers de l’ellipse inscrite : cette droite est leur régression orthogonale.

Avec le cercle inscrit. Le cercle inscrit touche les côtés à égale distance de leurs sommets seulement dans le cas équilatéral. L’ellipse de Steiner touche toujours les trois milieux, quel que soit le triangle non dégénéré.

Avec une ellipse inscrite quelconque. Une ellipse peut être tangente aux trois côtés sans les toucher en leurs milieux. Le test décisif est la position des trois contacts : les milieux caractérisent l’ellipse de Steiner et son aire maximale.

Avec l’ellipse circonscrite de Steiner. L’inscrite touche les côtés en leurs milieux ; la circonscrite passe par les sommets. Elles ont le même centre, mais les longueurs de la seconde sont doubles et son aire est quadruple.

Triangle dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, l’aire du triangle vaut 0 et aucune ellipse non dégénérée ne peut y être inscrite. Il faut donc vérifier que les trois sommets ne sont pas colinéaires avant d’appliquer les propriétés d’unicité et d’aire.

Cas équilatéral. Les deux foyers se confondent avec le centre de gravité, car l’ellipse inscrite devient un cercle. La « droite joignant les foyers » n’est alors pas déterminée ; de même, toutes les droites passant par le centre ajustent également les trois sommets par symétrie.

Aire contre longueur. L’aire maximale ne signifie ni périmètre maximal ni plus grande distance au bord. Le critère porte exclusivement sur l’aire parmi les ellipses contenues dans le triangle.

Deux problèmes extrémaux distincts. L’ellipse inscrite maximise l’aire sous une contrainte de contenu. La circonscrite minimise l’aire sous les contraintes de passage par les sommets et de directions tangentes ; il ne faut pas transférer l’un de ces verdicts à l’autre famille.

L’article ellipse présente les axes, les foyers et les propriétés générales de la conique utilisée dans cette construction.

La fiche centre de gravité détaille le point commun aux médianes qui sert de centre aux deux ellipses de Steiner.

La notion de homothétie explique précisément pourquoi l’ellipse circonscrite a des longueurs doubles et une aire quadruple.

La fiche foyer d'une conique approfondit le rôle des deux points obtenus ici comme racines du polynôme dérivé.