homologie - géométrie -

Imaginez une figure tracée autour d'un point O et traversée par une droite (d). Une homologie déplace chaque point le long de la droite qui le relie à O, tandis que tous les points de (d) restent immobiles.

Le déplacement d'un seul point A vers un point A′, sur une même droite passant par O, règle alors toute la transformation. Les droites restent des droites : la figure peut changer d'apparence, mais ses alignements sont conservés.

Dans un plan projectif, une homologie est une collinéation non triviale qui possède un centre O situé hors de son axe (d). Chaque point de (d) est fixe et O a pour image O. Pour tout point M distinct de O, son image M′ appartient à la droite (OM) : le centre, le point et son image sont alignés. Le cas où le centre appartient à l'axe est appelé une élation.

On peut déterminer la transformation en ajoutant un point A hors de (d) et son image A′, elle aussi hors de (d), avec A′ ≠ A, A′ ≠ O et O, A, A′ alignés. Pour construire l'image d'un point M situé hors de (d), n'appartenant pas à (OA) et distinct de O et de A, on forme le point I où la droite (AM) rencontre l'axe (d), puis on prend l'intersection de (OM) et de (IA′). Ce point est M′. Les cas exclus se traitent directement : O a pour image O, A a pour image A′ et chaque point de l'axe est fixe.

Dans un dessin affine, demander que (d) ne soit pas parallèle à (OA) garantit que leur intersection reste visible à distance finie. Dans le plan projectif complet, deux droites parallèles du dessin se rencontrent en un point à l'infini. En notant D l'intersection de (OA) et de (d), l'homologie est dite harmonique lorsque le birapport ordonné (O, D ; A, A′) vaut −1.

Prenons le centre O = (0, 0), l'axe (d) d'équation x = 1, le point A = (2, 0) et son image A′ = (3, 0). Choisissons M = (0, 2). Toutes ces coordonnées sont données dans le même repère affine.

1. La droite (AM) passe par (2, 0) et (0, 2), donc elle a pour équation x + y = 2. Son intersection avec x = 1 est I = (1, 1).

2. La droite (IA′) passe par (1, 1) et (3, 0). Son équation est y = (3 − x)/2.

3. La droite (OM) est x = 0. En remplaçant x par 0 dans l'équation précédente, on obtient y = 3/2. Ainsi, M′ = (0, 3/2).

Le contrôle est double : O, M et M′ ont tous une abscisse nulle, tandis que I, A′ et M′ vérifient y = (3 − x)/2. La construction respecte donc les deux alignements exigés.

Pour construire l'image d'un point à la règle, on repère d'abord le centre O, l'axe (d) et une paire A, A′. Deux intersections suffisent ensuite : I = (AM) ∩ (d), puis M′ = (OM) ∩ (IA′).

Pour contrôler un dessin, on vérifie deux signes observables. Chaque paire M, M′ doit être alignée avec O, et tout point placé sur l'axe doit rester au même endroit. Si l'un de ces tests échoue, la transformation dessinée n'est pas l'homologie annoncée.

Lorsque des droites parallèles apparaissent dans le repère choisi, il faut raisonner dans le plan projectif et inclure leurs points à l'infini. Changer de repère affine peut rendre les intersections finies et faciliter le tracé.

Homothétie. Dans un repère affine, une homothétie multiplie les vecteurs issus de son centre par un même nombre. Vue projectivement, c'est un cas particulier d'homologie dont l'axe fixe est la droite à l'infini. Une homologie ayant un axe fixe ordinaire n'est donc pas une homothétie non triviale.

Collinéation quelconque. Toute homologie est une collinéation, car elle conserve les alignements, mais l'inverse est faux. Le test décisif consiste à trouver une droite fixée point par point et un centre commun aux droites joignant chaque point à son image.

Homologie en topologie algébrique. Le même mot désigne aussi des groupes associés aux trous d'un espace. La présence d'un centre, d'un axe et d'images de points indique ici la notion de géométrie projective, non celle de topologie.

Point déjà sur l'axe. Si M appartient à (d), alors M′ = M. Chercher une nouvelle position pour ce point contredit précisément la propriété qui définit l'axe.

Construction apparemment parallèle. Si (AM) est parallèle à (d) dans le dessin affine, leur intersection I est à l'infini. La construction reste projectivement valable, mais un tracé euclidien ordinaire ne peut pas placer I ; il faut changer de repère affine ou travailler avec ce point à l'infini.

Données dégénérées. Si A = A′, la paire ne règle plus une homologie non triviale de la manière annoncée. Si A se trouve sur l'axe, son image doit être A lui-même, ce qui est incompatible avec l'exigence A ≠ A′.

Rapport égal à −1. Cette valeur ne caractérise pas toute homologie : elle sélectionne le cas harmonique. En notant D = (OA) ∩ (d), il faut donc vérifier que le birapport ordonné (O, D ; A, A′) vaut −1 avant d'employer le qualificatif « harmonique ».

La géométrie projective fournit le cadre où les points à l'infini complètent le plan et où les collinéations, dont les homologies, préservent les alignements.

L'écriture matricielle d'une homologie permet ensuite de calculer directement les images en coordonnées homogènes. Elle rend aussi visibles l'axe fixe, le centre et la valeur propre qui distingue le cas harmonique.