géométrie projective

Regardez une scène en perspective : des lignes parallèles semblent converger et un milieu peut ne plus paraître au milieu. La géométrie projective s'intéresse à ce qui résiste à cette déformation. Si des points étaient alignés, leurs images le restent.

Elle prolonge aussi le plan avec des points à l'infini. Dans ce cadre, deux droites parallèles se rencontrent sur la droite à l'infini. La perspective devient ainsi une transformation que l'on peut décrire avec des règles précises.

La géométrie projective est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés invariantes par projection centrale. Un centre extérieur au plan de réception étant fixé, un point distinct du centre est envoyé sur l'intersection de la droite qui les relie avec ce plan, éventuellement à l'infini dans le cadre projectif. Ce cadre formalise la perspective.

Une projection centrale préserve l'alignement. Pour comparer plus finement quatre points sur une même droite, on utilise le birapport : cette quantité décrit leur position relative et se compare avant et après la projection. Sa conservation suppose que la projection définisse bien une correspondance projective non dégénérée entre la droite porteuse et la droite image, que les quatre points et leurs images soient distincts, et que les deux birapports soient définis. Le birapport est ainsi un invariant fondamental de cette géométrie. En revanche, une projection centrale ne conserve en général ni les milieux ni les barycentres, c'est-à-dire les points construits par moyenne pondérée ; elle n'est donc pas une application affine.

Dans le plan projectif, des points à l'infini complètent les droites ordinaires : deux droites parallèles partagent un point à l'infini, et tous ces points forment la droite à l'infini. Le principe de dualité échange points et droites, ainsi qu'alignement et concurrence. La source présente ainsi les théorèmes de Céva et de Ménélaüs comme duaux.

Les premières contributions citées remontent à Pappus d'Alexandrie au IVe siècle. Desargues et Pascal développent la discipline au XVIIe siècle, puis Monge et Poncelet au XIXe ; Poncelet compte parmi ses principaux fondateurs modernes. Aujourd'hui, la théorie étudie notamment le groupe projectif associé à un espace projectif.

On projette une droite source sur une droite image depuis le centre S. Dans un repère, S a pour coordonnées (−1 ; 1), la source est l'axe horizontal et la droite image est l'axe vertical. Quatre points de la source ont pour abscisses 1, 2, 3 et 4.

1. Pour un point d'abscisse x, la droite passant par S coupe l'axe vertical à l'ordonnée y donnée par $y=\frac{x}{x+1}y=\backslash frac\{x\}\{x+1\}$. Les quatre images ont donc pour ordonnées 1/2, 2/3, 3/4 et 4/5.

2. Le point d'abscisse 2 est le milieu des points d'abscisses 1 et 3. Son image a pour ordonnée 2/3, tandis que le milieu des ordonnées 1/2 et 3/4 vaut 5/8. Le milieu n'est pas conservé.

3. Avec la convention du birapport ordonné, le calcul sur la source donne :

4. Le même calcul sur les quatre images donne :

Le contrôle est double : les quatre images restent alignées sur l'axe vertical et les deux birapports valent exactement 4/3. La projection déplace donc le milieu, mais préserve l'invariant projectif annoncé.

En dessin assisté par ordinateur, le cadre projectif sert à construire une perspective depuis un centre. Une modélisation affine ne convient pas lorsque la projection déplace visiblement les milieux.

En vision artificielle, on relie des alignements observés dans différentes vues. Le birapport fournit un contrôle lorsque quatre points repérés appartiennent à une même droite.

La cryptographie compte aussi parmi les domaines d'application cités, via l'étude de structures projectives et de leurs groupes. Sans protocole précis, cette mention ne suffit toutefois pas à choisir une méthode cryptographique.

Projection centrale et application affine. Une application affine conserve les barycentres, donc les milieux. Une projection centrale ne les conserve pas en général. Dans l'exemple, le milieu d'abscisse 2 est envoyé en 2/3, alors que le milieu de ses deux images vaut 5/8 : ce test tranche.

Prendre une apparence pour un invariant. Une projection peut déplacer un milieu ou un barycentre. Si le point obtenu ne coïncide plus avec le milieu apparent des images, il faut raisonner avec un invariant projectif, et non avec une proportion affine.

Employer le birapport sans alignement. L'invariant cité concerne quatre points alignés. Si les quatre points ne sont pas sur une même droite, ce birapport n'est pas le contrôle annoncé ; il faut d'abord vérifier l'alignement.

Lire un point à l'infini comme un point ordinaire du dessin. Il appartient à l'extension projective du plan. Pour deux droites parallèles, il exprime leur direction commune dans ce cadre ; il ne faut pas lui chercher une position euclidienne finie.

Birapport approfondit le calcul de l'invariant fondamental conservé par projection centrale.

Un invariant par projection centrale replace cette conservation dans une construction géométrique dédiée.

Point à l'infini précise comment le plan projectif complète une direction parallèle.