Poncelet Jean-Victor

En 1812, Jean-Victor Poncelet est fait prisonnier pendant la campagne de Russie. Durant sa captivité, jusqu'en 1814, cet officier formé à l'École polytechnique reprend sans ses livres des idées de géométrie apprises auprès de Monge.

Son intuition est de regarder ce qui reste vrai lorsqu'une figure est projetée, comme une ombre change de forme selon le point de vue. Cette démarche relance la géométrie projective et conduit à étudier autrement droites, coniques et points situés « à l'infini ». Poncelet relie ainsi une carrière d'ingénieur à une nouvelle manière de raisonner sur les figures.

Jean-Victor Poncelet (1788-1867) est un mathématicien, ingénieur et général français. Élève de Monge à l'École polytechnique, puis formé à l'artillerie et au génie à Metz, il participe comme officier à la campagne de Russie. Prisonnier de 1812 à 1814, il reconstitue et approfondit les fondements de la géométrie projective, restée dans l'ombre depuis Desargues. Son Traité des propriétés projectives de figures, publié en 1822, devient un ouvrage fondateur de ce renouveau.

Dans les Annales de Gergonne, Poncelet introduit notamment la droite de l'infini, le principe de continuité, la dualité projective, les faisceaux harmoniques et les points cycliques. Son nom reste associé aux cercles, aux faisceaux de cercles et aux coniques. Le grand théorème de Poncelet porte sur deux coniques planes : si un polygone à n côtés peut être inscrit dans la première et circonscrit à la seconde, la construction se referme aussi depuis tout premier côté tangent admissible. Le théorème de Poncelet-Steiner concerne une autre question : toute construction possible à la règle et au compas devient possible à la règle seule lorsqu'un cercle et son centre sont déjà tracés.

Poncelet travaille aussi en mécanique appliquée : capitaine du génie à Metz, il invente en 1824 une roue hydraulique à aubes courbes. Il est élu à l'Académie des sciences en 1834, puis devient professeur à l'Université de Paris et commandant de l'École polytechnique. Élu à l'Assemblée constituante en 1848, il refuse de servir sous le Second Empire et perd ses fonctions.

Prenons deux cercles concentriques. Le cercle extérieur a pour rayon 1 ; le cercle intérieur a pour rayon 1/2. Nous cherchons un triangle dont les sommets sont sur le cercle extérieur et dont chaque côté est tangent au cercle intérieur. La figure rend visible cette double condition.

1. Plaçons trois points A, B et C régulièrement espacés sur le cercle extérieur. L'angle au centre entre deux sommets consécutifs vaut 120°.

2. La distance du centre à chaque côté de ce triangle équilatéral vaut $1\times \cos ({60}^{\circ })=\frac{1}{2}1\backslash times\backslash cos(60^\backslash circ)=\backslash frac\{1\}\{2\}$. Chaque côté est donc tangent au cercle intérieur de rayon 1/2.

3. Le triangle est inscrit dans le cercle extérieur, circonscrit au cercle intérieur et se referme après trois côtés. Le grand théorème de Poncelet affirme alors que tout couple de points consécutifs du cercle extérieur dont la droite est tangente au cercle intérieur peut amorcer un triangle ayant les mêmes propriétés.

Le contrôle est direct : mesurez l'angle au centre entre deux sommets consécutifs, puis la distance du centre à leur côté. On doit retrouver exactement 120° et 1/2 dans ce modèle, avant de répéter la construction trois fois pour revenir au sommet initial.

Pour situer Poncelet dans l'histoire des mathématiques, on peut suivre la chronologie 1812-1814, 1822 et 1834 : captivité et recherches, publication du traité, puis élection à l'Académie des sciences. Cette lecture évite de confondre la période de conception avec la date de publication.

Devant une figure soumise à une projection centrale, on cherche les relations conservées plutôt que les longueurs et les angles. Regrouper chaque famille de droites parallèles par un point à l'infini conduit à la droite de l'infini ; échanger le rôle des points et des droites dans un énoncé donne une première lecture de la dualité projective.

Pour reconnaître le grand théorème de Poncelet, on repère deux coniques et un polygone à la fois inscrit dans l'une et circonscrit à l'autre. Si le problème concerne au contraire une construction à la règle seule avec un cercle centré déjà donné, il relève du théorème de Poncelet-Steiner.

Dans l'histoire des techniques, la roue hydraulique à aubes courbes de 1824 rappelle que Poncelet ne sépare pas théorie et mécanique appliquée. Ce repère est préférable aux théorèmes géométriques lorsqu'on étudie son activité d'ingénieur à Metz.

Le grand théorème de Poncelet et le théorème de Poncelet-Steiner. Le premier teste la fermeture de polygones entre deux coniques. Le second remplace la règle et le compas par la règle seule, sous la condition qu'un cercle et son centre soient déjà tracés.

Géométrie projective et géométrie métrique. Une question projective suit ce qui résiste à une projection centrale ; une question métrique demande des longueurs ou des angles. Calculer la distance du centre à un côté dans l'exemple est un contrôle métrique au service d'une configuration projective.

Poncelet et Desargues. La source présente Desargues comme un fondateur antérieur de la géométrie projective, puis Poncelet comme l'un de ses fondateurs et promoteurs au XIXe siècle. Le critère qui tranche est donc la période historique, non une attribution exclusive à l'un des deux.

Une fermeture observée ne suffit pas sans les bonnes hypothèses. Le grand théorème suppose deux coniques planes et l'existence d'au moins un polygone à n côtés inscrit dans l'une et circonscrit à l'autre. Sans ce premier polygone fermé, on ne peut pas conclure que toutes les amorces admissibles se referment.

Le premier côté n'est pas arbitraire. Ses deux extrémités appartiennent à la conique extérieure et leur droite doit être tangente à la conique intérieure. Dans l'exemple des deux cercles, deux points qui ne déterminent pas une tangente au cercle de rayon 1/2 ne lancent pas le triangle annoncé.

« À la règle seule » ne signifie pas sans donnée initiale. Le théorème de Poncelet-Steiner exige qu'un cercle avec son centre soit déjà tracé. Si le centre manque, l'énoncé fourni par la source ne justifie pas la même conclusion.

Les théorèmes relatifs aux foyers demandent une configuration précise. Les points T et T' sont les contacts des tangentes issues d'un même point M à une conique de foyers F et F'. Sans ces tangentes et ces foyers identifiés, les affirmations de bissectrices ne s'appliquent pas.

géométrie projective — Pour replacer projections, droite de l'infini et invariants dans le cadre mathématique que Poncelet a contribué à refonder.

conique — Pour préciser la famille de courbes au cœur des théorèmes de fermeture et de tangence associés à Poncelet.

De Bézout pour les polynômes à l'intersection des coniques — Pour prolonger l'étude des coniques par une autre question : compter et comprendre leurs intersections.