Desargues Girard

En 1639, Girard Desargues rassemble ses idées dans le Brouillon Project d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Il observe la perspective comme un géomètre : un même objet change d'apparence selon le point de vue, mais certaines relations entre points et droites demeurent.

Cette façon de regarder les figures rapproche l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Elle conduit aussi à ajouter des points à l'infini, afin que des droites parallèles ne constituent plus un cas à traiter à part.

Girard Desargues (1591-1661) est un géomètre et architecte français, né et mort à Lyon. Il est considéré comme le fondateur de la géométrie projective. Son travail part des constructions de perspective conique pratiquées par les peintres et les architectes de la Renaissance. Il en extrait des propriétés qui ne dépendent pas des longueurs ni des angles, mais des incidences entre points et droites.

Ce cadre traite ensemble les sections d'un cône par un plan : ellipse, parabole et hyperbole. Desargues y introduit la dualité point-droite, qui met en correspondance des énoncés portant sur les points et des énoncés portant sur les droites. Il introduit aussi le point à l'infini. Cet ajout permet d'intégrer les directions parallèles aux configurations projectives sans séparer systématiquement les cas finis et les cas à l'infini.

Le Brouillon Project de 1639 contient les idées à l'origine du théorème de Desargues et de la configuration de Desargues. Abraham Bosse en a assuré une diffusion active auprès d'un public plus large. Peu lue du vivant de Desargues, cette œuvre a profondément influencé des géomètres ultérieurs, notamment Pascal.

Considérons deux triangles, notés ABC et A'B'C'. Les trois droites reliant les sommets correspondants A et A', B et B', C et C' passent par un même point O. C'est la donnée de départ : les deux triangles sont en perspective depuis O.

1. Prolongez les côtés AB et A'B' jusqu'à leur point d'intersection P.
2. Faites de même avec BC et B'C' pour obtenir Q.
3. Prolongez enfin CA et C'A' jusqu'à leur intersection R.

Les trois constructions s'écrivent :Dans le plan projectif usuel, le théorème de Desargues conclut que P, Q et R sont alignés. La droite qui les porte est l'axe de perspective des deux triangles.

Le contrôle est visuel et reproductible : tracez les trois couples de côtés correspondants, marquez leurs intersections, puis vérifiez qu'une seule droite passe par P, Q et R. La figure montre simultanément le centre O et cet alignement caractéristique.

Dans une construction en perspective conique, on relie les points de l'objet à un point de vue, puis on observe leurs rencontres avec le plan de l'image. Cette approche convient lorsque la profondeur et les lignes de fuite comptent. Si des longueurs ou des angles doivent être conservés, il faut employer un cadre géométrique adapté à ces mesures.

Pour étudier une ellipse, une parabole ou une hyperbole, le regard projectif cherche les propriétés conservées lorsque le plan coupe le cône autrement. On préfère cette lecture lorsqu'une relation d'incidence importe davantage qu'une mesure de longueur ou d'angle.

Dans une configuration comprenant des droites parallèles, on introduit leurs points à l'infini pour conserver une formulation uniforme. Cette convention évite de recommencer le raisonnement selon que l'intersection se trouve à distance finie ou à l'infini.

Girard Desargues et le théorème de Desargues. Le premier est le géomètre lyonnais né en 1591 ; le second est un résultat portant sur deux triangles en perspective. Une date biographique renvoie à la personne, tandis qu'un alignement de trois intersections renvoie au théorème.

Théorème et configuration de Desargues. Le théorème affirme une implication entre une concurrence et un alignement. La configuration est l'ensemble formé par les points et les droites qui matérialisent ces incidences ; un dessin complet peut montrer la configuration sans constituer à lui seul une démonstration.

Côtés parallèles. Dans le plan euclidien, deux côtés correspondants parallèles ne fournissent aucun point d'intersection fini. Il ne faut pas supprimer ce couple : dans le plan projectif, son intersection est un point à l'infini associé à leur direction commune.

Figure dégénée. Si des sommets ou des côtés nécessaires se confondent, une intersection peut cesser d'être déterminée de manière unique. Le symptôme est qu'un « point » d'intersection devient toute une droite ; il faut alors expliciter la dégénérescence au lieu d'appliquer machinalement l'énoncé ordinaire.

Infini projectif. Un point à l'infini n'est pas un point ordinaire simplement placé très loin sur la feuille. Il encode une direction de droites parallèles. Pour lire correctement une configuration, il faut donc distinguer l'éloignement dans un dessin de l'appartenance à la droite à l'infini.

Cadre de validité. Le théorème vaut dans le plan projectif usuel construit sur les nombres réels, mais pas dans tout plan projectif abstrait. Si le cadre n'est pas précisé, il faut vérifier qu'il possède la propriété de Desargues avant d'utiliser l'alignement comme une conclusion automatique.

géométrie projective. Cette fiche replace les incidences, les projections et les transformations dans le cadre mathématique fondé par Desargues.

point à l'infini. Ce prolongement précise comment une direction commune aux droites parallèles devient un élément du plan projectif.