théorème de Pappus-Pascal

Tracez un hexagone dont les six sommets reposent sur une ellipse, puis prolongez ses côtés opposés. Trois points d'intersection apparaissent : le théorème de Pascal affirme qu'ils se rangent sur une même droite.

Aplatissez maintenant la conique jusqu'à obtenir deux droites. Si trois sommets sont placés sur chacune, en alternance autour de l'hexagone, le même alignement devient celui du théorème de Pappus. Le nom Pappus-Pascal souligne ce passage d'une figure à l'autre.

Dans le plan projectif réel, considérons un hexagone ordonné A, B, C, D, E, F inscrit dans une conique. Les côtés opposés sont AB et DE, BC et EF, CD et FA. On note X, Y et Z leurs intersections respectives. Le théorème de Pascal affirme que X, Y et Z sont alignés sur la droite de Pascal.

Une conique non dégénérée peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole dans une vue affine. Lorsqu'elle dégénère en deux droites distinctes, les six sommets se répartissent par trois sur chaque droite. Avec l'ordre alterné A, C, E sur la première et B, D, F sur la seconde, l'alignement de Pascal prend exactement la forme du théorème de Pappus.

Le cadre projectif est essentiel : deux côtés parallèles dans un dessin affine ont encore un point d'intersection, situé à l'infini. Cette convention évite d'exclure artificiellement certaines configurations et conserve l'énoncé d'alignement.

Si les sommets A, B, C, D, E et F d'un hexagone ordonné appartiennent à une même conique, alors les points X = AB ∩ DE, Y = BC ∩ EF et Z = CD ∩ FA sont alignés.

Si la conique est l'union de deux droites distinctes, avec A, C, E sur l'une et B, D, F sur l'autre, cette conclusion est l'énoncé de Pappus. Les intersections sont comprises au sens projectif.

Il faut d'abord un hexagone ordonné : les paires de côtés opposés dépendent de l'ordre A, B, C, D, E, F. Chaque côté utilisé doit être déterminé par deux sommets distincts, et les deux côtés de chaque paire opposée ne doivent pas être confondus. Dans le cas de Pascal, les six sommets appartiennent à une même conique. Dans le cas dégénéré de Pappus, la conique est formée de deux droites distinctes et les sommets alternent entre elles, trois points distincts par droite.

Un tracé affine où deux côtés opposés sont parallèles ne fournit pas leur intersection comme point ordinaire. Il ne réfute pas le théorème : il faut passer au plan projectif et prendre leur point à l'infini. En revanche, six points choisis sans conique commune ne satisfont pas les hypothèses, et aucun alignement n'est alors garanti.

Prenons deux droites parallèles d'équations y = 0 et y = 3. Plaçons A(0 ; 0), C(2 ; 0), E(5 ; 0) sur la première, puis B(1 ; 3), D(4 ; 3), F(7 ; 3) sur la seconde. Le schéma montre les six côtés prolongés et les trois intersections à contrôler.

Étape 1. Les droites AB et DE ont pour équations y = 3x et y = −3x + 15. Leur intersection est X(5/2 ; 15/2).

Étape 2. Les droites BC et EF ont pour équations y = −3x + 6 et y = 3x/2 − 15/2. Leur intersection est Y(3 ; −3).

Étape 3. Les droites CD et FA ont pour équations y = 3x/2 − 3 et y = 3x/7. Leur intersection est Z(14/5 ; 6/5).

Contrôle. La droite passant par X et Y a pour équation :

Pour x = 14/5, cette équation donne y = 6/5 : le point Z appartient donc à la même droite que X et Y. L'alignement annoncé par Pappus est vérifié exactement.

Dans une construction géométrique, le théorème sert à prévoir le troisième point d'une droite de Pascal après avoir construit les deux premiers. Le critère observable est l'appartenance des six sommets à une même conique.

Lorsque les six points sont répartis par trois sur deux droites, la version de Pappus est plus directe : on construit les intersections des trois paires de côtés opposés et l'on contrôle leur alignement.

Si des côtés paraissent parallèles, une construction projective convient mieux qu'une vérification dans le seul plan affine. Elle conserve les points à l'infini et évite de conclure à tort qu'une intersection manque.

Le théorème de Pascal porte sur un hexagone inscrit dans une conique non dégénérée. Le théorème de Pappus traite la configuration où les six sommets alternent entre deux droites distinctes. Dans une ellipse, on invoque Pascal ; avec trois points sur chacune de deux droites, on reconnaît Pappus.

Il ne faut pas non plus confondre ce résultat avec les théorèmes de Pappus-Guldin sur les volumes et les aires de surfaces de révolution. Le test est immédiat : Pappus-Pascal conclut à l'alignement de trois points en géométrie projective, sans calcul d'aire ni de volume.

Point à l'infini. Si deux côtés opposés sont parallèles dans la vue affine, leur intersection semble absente. Il faut compléter le plan par les points à l'infini et lire l'alignement projectivement.

Ordre des sommets. Relier les six points dans un autre ordre change les paires de côtés opposés. Il faut fixer l'hexagone ordonné avant de nommer X, Y et Z, puis conserver cet ordre dans tout le raisonnement.

Dégénérescence supplémentaire. Si les deux droites censées former la conique se confondent, ou si des côtés utilisés comme droites ne sont plus déterminés par deux points distincts, la configuration décrite n'est plus celle de Pappus. Il faut alors traiter séparément cette spécialisation.

Lecture du dessin. Un alignement presque visible n'est pas une preuve. Des coordonnées, une construction projective ou un argument théorique doivent établir que les trois intersections appartiennent exactement à une même droite.

Le théorème de Pascal permet d'étudier l'alignement pour un hexagone inscrit dans une conique non dégénérée.

Le théorème de Pappus isole la configuration de deux droites et rend explicite le cas dégénéré.