GéométrieNotion · Glossaire
Hexagramme mystique
L'hexagramme mystique, aussi appelé théorème de Pascal, est un résultat de géométrie projective : si six points sont placés sur une conique (ellipse, parabole, hyperbole ou cercle), alors les trois points d'intersection des paires de côtés opposés de l'hexagone formé par ces six points sont colinéaires. Cette ligne est appelée ligne de Pascal. Ce théorème est un résultat fondamental de la géométrie projective et admet des cas dégénérés importants incluant le théorème de Pappus.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois paires de côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique.
- Vérifier sur un exemple exact que les trois intersections appartiennent à la ligne de Pascal.
- Reconnaître les cas où une intersection se trouve à l'infini.
En clair
Imaginez six points posés sur le bord d'une même ellipse. Reliez-les dans un ordre choisi pour former un hexagone, puis prolongez ses côtés. Chaque côté rencontre celui qui lui fait face. Le théorème de Pascal affirme que les trois points ainsi obtenus tombent sur une même droite, même si l'hexagone paraît irrégulier.
Cette droite porte le nom de ligne de Pascal. L'alignement ne dépend pas d'une symétrie visible : il vient du fait que les six sommets appartiennent à une seule conique.
Définition
L'hexagramme mystique est une configuration de géométrie projective associée au théorème de Pascal. On choisit six points distincts A, B, C, D, E et F sur une même conique, puis on considère l'hexagone ABCDEF. Il n'a besoin d'être ni régulier ni convexe. Les côtés sont les droites AB, BC, CD, DE, EF et FA, et non de simples segments.
On note P l'intersection de AB et DE, Q celle de BC et EF, puis R celle de CD et FA. Ce sont les intersections des trois paires de côtés opposés. Le théorème affirme que P, Q et R sont colinéaires ; leur droite commune est la ligne de Pascal. La conique peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Le cadre projectif prend aussi en charge les intersections à l'infini lorsque deux côtés opposés sont parallèles dans un dessin affine.
Dans un repère affine où les trois intersections ont des coordonnées finies, leurs coordonnées respectives (xP, yP), (xQ, yQ) et (xR, yR) vérifient le critère de colinéarité suivant.
Des configurations dégénérées importantes relient notamment ce résultat au théorème de Pappus.
Un exemple, pas à pas
Prenons la parabole d'équation y = x2. Les six paramètres choisis sont −4, −3, −1/2, 0, 1/2 et 1. Ils donnent, dans cet ordre, A(−4, 16), B(−3, 9), C(−1/2, 1/4), D(0, 0), E(1/2, 1/4) et F(1, 1).
1. Les droites AB et DE ont pour équations y = −7x − 12 et y = x/2. Leur intersection est P(−8/5, −4/5).
2. Les droites BC et EF ont pour équations y = −7x/2 − 3/2 et y = 3x/2 − 1/2. Leur intersection est Q(−1/5, −4/5).
3. Les droites CD et FA ont pour équations y = −x/2 et y = −3x + 4. Leur intersection est R(8/5, −4/5).
Le contrôle est immédiat : si yP, yQ et yR désignent les trois ordonnées, alors . Les trois intersections appartiennent donc à la droite horizontale y = −4/5, qui est ici la ligne de Pascal. La figure montre que cet alignement subsiste malgré un hexagone très dissymétrique.
En pratique
Dans une construction projective, deux intersections de côtés opposés déterminent déjà une droite. Le théorème impose que la troisième intersection appartienne à cette ligne ; on peut donc la construire en croisant la ligne de Pascal avec la dernière droite concernée. Si les six points ne sont pas sur une même conique, cette contrainte n'est pas disponible.
Dans un calcul en coordonnées, on écrit les équations des six côtés, puis on calcule P, Q et R. Le déterminant de colinéarité fournit alors un contrôle exact. Une vérification seulement graphique convient pour conjecturer l'alignement, mais pas pour le démontrer.
À ne pas confondre
L'hexagramme mystique n'est pas défini par le tracé d'une étoile à six branches. Le critère décisif est autre : six sommets doivent appartenir à une même conique, puis les intersections des trois paires de côtés opposés doivent être considérées. Une étoile dessinée seule ne fournit donc pas la configuration du théorème de Pascal.
Limites et pièges
Si deux côtés opposés sont parallèles dans le plan affine, leur intersection semble manquer. Il ne faut pas conclure que le théorème échoue : en géométrie projective, ces droites se rencontrent en un point à l'infini, qui appartient encore à la ligne de Pascal.
L'ordre A, B, C, D, E, F compte. Le modifier change les paires AB–DE, BC–EF et CD–FA, donc peut produire une autre ligne de Pascal à partir des mêmes six points. Il faut conserver le même ordre pendant toute la construction.
Dans un cas dégénéré, certains sommets ou certaines droites peuvent se confondre. Les intersections ordinaires ne se lisent alors plus directement dans la représentation. Il faut traiter la configuration comme une limite projective ; des dégénérescences importantes conduisent notamment au théorème de Pappus.
Pour aller plus loin
La fiche conique précise la famille de courbes qui porte les six sommets et éclaire l'hypothèse centrale du théorème.
La fiche géométrie projective donne le cadre dans lequel les droites parallèles possèdent un point d'intersection à l'infini.
La fiche théorème de Pappus prolonge l'étude du cas dégénéré explicitement rattaché à l'hexagramme mystique.
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