théorème de clôture de Poncelet

Imaginez deux ovales fermés, l’un autour de l’autre. Depuis un point de l’ovale extérieur, tracez un segment qui touche juste l’ovale intérieur, puis recommencez depuis le nouveau point d’arrivée. La ligne avance ainsi en rebondissant sur l’ovale extérieur.

Supposons que cette ligne revienne à son départ après un nombre fixé de côtés. Le théorème de Poncelet affirme qu’elle se referme aussi depuis tout autre point de l’ovale extérieur pour lequel la construction est définie, à condition de suivre à chaque étape la même branche de tangentes réelles. Dans ce domaine, la fermeture dépend de la paire de coniques, pas du sommet choisi.

Soient deux coniques, la conique extérieure C et la conique intérieure C′. Un polygone de Poncelet à n côtés a tous ses sommets A₀, A₁, …, A_n−1 sur C, tandis que chacun de ses côtés est tangent à C′. Il est donc inscrit dans C et circonscrit à C′.

Pour deux coniques réelles non singulières, sur une composante de C où une branche donnée de tangentes réelles à C′ permet de poursuivre la construction, le théorème de clôture énonce une propriété de la paire (C, C′) : dès qu’un tel n-gone fermé existe pour cette branche de tangence, il en existe une infinité. Tout point M de cette composante où la correspondance de tangence réelle est définie peut servir de sommet à un polygone satisfaisant les mêmes incidences et se fermant après n côtés. Le point initial change la figure, mais ni le nombre de côtés ni la clôture.

Poncelet formule ce résultat en 1822 et l’étend à une configuration où les côtés successifs sont tangents à des coniques appartenant à un même faisceau contenant C. Cette extension conserve donc une relation précise entre les coniques employées.

Soient C et C′ deux coniques réelles non singulières. Fixons une composante de C et une branche de tangentes réelles à C′ pour lesquelles la construction peut se poursuivre à chaque étape. Si une telle construction se referme après exactement n côtés pour un point initial de cette composante, alors elle se referme après exactement n côtés depuis tout point admissible de la même composante, en suivant la même branche de tangence. Il existe donc une famille infinie de n-gones de Poncelet pour cette paire de coniques et cette correspondance de tangence.

Le domaine est celui de deux coniques réelles non singulières. La réserve « configuration régulière admissible » signifie concrètement que l’on fixe une composante de C et une branche de tangentes réelles à C′ pour lesquelles la construction peut se poursuivre à chacun des points considérés. Un point de C où la branche choisie ne fournit pas de tangente réelle permettant de continuer est hors de ce domaine. À chaque étape, le sommet doit appartenir à cette composante de C et le côté qui en part doit suivre cette branche et être tangent à C′. Enfin, il faut connaître l’existence d’au moins un n-gone fermé respectant ces conditions ; le théorème propage alors la clôture aux autres points de départ admissibles.

Si un seul côté coupe C′ en deux points au lieu de lui être tangent, la construction n’est pas un polygone de Poncelet et la conclusion ne s’applique pas. De même, observer quelques trajectoires presque fermées ne prouve pas l’existence d’un polygone fermé : il faut établir la tangence et la fermeture exactes, par une construction ou un calcul adapté.

Prenons pour C le cercle de centre O et de rayon 1, et pour C′ le cercle de même centre et de rayon 1/√2. Nous cherchons un quadrilatère de Poncelet.

1. Choisissons sur C les quatre points de coordonnées (1, 0), (0, 1), (−1, 0) et (0, −1), dans cet ordre. Ils forment un carré.

2. Le côté joignant (1, 0) à (0, 1) est porté par la droite d’équation x + y = 1. Sa distance au centre O vaut :

3. Cette distance est le rayon de C′ : le côté est donc tangent au cercle intérieur. Par symétrie, les trois autres côtés le sont aussi. Le carré se referme après quatre côtés.

4. Le théorème garantit alors un carré fermé depuis tout autre point de C. Un contrôle direct est possible : faire tourner les quatre sommets d’un même angle conserve les deux cercles, les longueurs et les tangences.

Dans une construction géométrique, on peut chercher un seul polygone fermé entre deux coniques. Une fois son existence et ses tangences établies, le théorème évite de recommencer la preuve pour chaque sommet initial.

Pour une figure tracée numériquement, la fermeture apparente ne suffit pas. On contrôle d’abord que chaque sommet appartient à la conique extérieure et que chaque côté est réellement tangent à la conique intérieure. Si les écarts viennent des arrondis, on revient aux équations exactes plutôt que d’invoquer le théorème sur une image.

Le résultat sert aussi à séparer ce qui dépend du point de départ de ce qui dépend des deux coniques. La forme et la position du polygone varient ; sa clôture et son nombre de côtés restent attachés à la configuration.

Un polygone simplement inscrit dans une conique n’est pas forcément un polygone de Poncelet. Le critère décisif est double : tous les sommets sont sur C et tous les côtés sont tangents à la même conique C′. Un carré dessiné dans un cercle sans conique intérieure satisfait seulement la première condition.

Le théorème de clôture ne se confond pas avec la seule existence d’un cercle inscrit dans un polygone. Cette propriété concerne un polygone donné ; le théorème de Poncelet affirme l’existence d’une famille entière de polygones pour deux coniques fixées, dès qu’un premier polygone se ferme.

Une fermeture presque visible n’est pas une clôture mathématique. Après n étapes, un petit écart entre le dernier sommet et le premier peut venir d’une configuration non fermante ou des arrondis du tracé. Il faut contrôler les équations d’appartenance, de tangence et de fermeture.

Depuis un point extérieur à C′, deux tangentes à C′ peuvent généralement être tracées. Une construction itérée doit conserver un choix cohérent de branche ou de sens ; alterner arbitrairement les tangentes ne relève pas de l’orbite dont on affirme la clôture.

Le nombre n ne signifie pas que la ligne revient pour la première fois après n étapes si le même parcours a déjà une période plus courte. La formulation « exactement n côtés » concerne un n-gone non parcouru plusieurs fois ; en cas de sommets répétés, il faut rechercher la période minimale.

La généralisation à plusieurs coniques d’un même faisceau ne permet pas de choisir des coniques quelconques sans relation. Il faut conserver la condition de faisceau indiquée par Poncelet ; sinon, le théorème cité ne fournit aucune conclusion de clôture.

La fiche conique précise la famille de courbes qui porte les sommets et les tangences du polygone.

La géométrie projective donne le cadre dans lequel incidence et tangence organisent le théorème de Poncelet.

Le cercle inscrit éclaire le cas particulier où la conique intérieure est le cercle tangent aux côtés d’un polygone.