grand théorème de Poncelet

Imaginez deux cercles, l’un à l’intérieur de l’autre. Depuis un point du grand cercle, tracez une droite qui touche juste le petit cercle, puis marquez son autre intersection avec le grand cercle. Recommencez depuis ce nouveau point. Une ligne polygonale se forme autour du petit cercle.

Le grand théorème de Poncelet révèle un phénomène tout ou rien. Si le parcours revient au départ après un certain nombre de côtés, déplacer le point de départ ne détruit pas cette fermeture : le nouveau parcours revient lui aussi au départ après le même nombre de côtés.

Le grand théorème de Poncelet, établi par Jean-Victor Poncelet en 1822, est un théorème de fermeture pour une paire de coniques. Considérons une conique extérieure Γ, qui porte les sommets, et une conique intérieure K, à laquelle les côtés sont tangents. Un polygone est alors inscrit dans Γ et circonscrit à K.

Dans une configuration réelle où K est un ovale strictement contenu dans l’intérieur de l’ovale Γ, s’il existe un polygone fermé à n côtés pour cette paire, alors une construction commencée en tout autre point de Γ se ferme également après n côtés, dès lors que l’on poursuit la même branche de tangentes. Il existe donc une infinité de polygones de Poncelet pour la paire considérée. Le nombre n dépend de la paire de coniques, et non du sommet initial.

Pour deux cercles coplanaires dont l’un est intérieur à l’autre, la règle prend une forme particulièrement visible : chaque sommet appartient au cercle extérieur et chaque côté touche le cercle intérieur. Les lettres C et C′ peuvent être interverties selon les énoncés ; les relations « inscrit dans » et « circonscrit à » indiquent sans ambiguïté le rôle de chaque conique.

Soient un ovale réel non dégéné Γ et un ovale réel non dégéné K strictement contenu dans son intérieur. S’il existe un n-gone dont les sommets appartiennent à Γ et dont tous les côtés sont tangents à K, alors tout point de Γ peut servir de premier sommet d’un n-gone ayant les mêmes propriétés, en poursuivant la même branche de tangentes. Autrement dit, pour la paire (K, Γ), l’existence d’un seul polygone fermé entraîne la fermeture depuis chaque point initial, après le même nombre n de côtés.

La donnée essentielle est une paire fixe de coniques. Les sommets successifs doivent tous rester sur la même conique Γ, et chaque droite qui joint deux sommets consécutifs doit être tangente à la même conique K. Pour parler d’un polygone réel emboîté comme dans l’exemple des cercles, on suppose que K est un ovale réel non dégénéré strictement contenu dans l’intérieur de l’ovale réel non dégénéré Γ. Depuis chaque point de Γ, les deux tangentes réelles à K et leurs secondes intersections avec Γ sont alors définies.

L’hypothèse décisive est l’existence d’au moins un parcours fermé à n côtés. Sans ce témoin, le théorème ne promet aucune fermeture. Si une droite choisie coupe K en deux points au lieu de lui être tangente, la construction ne satisfait déjà plus les hypothèses ; il faut reprendre la tangente correcte, et non invoquer le théorème pour le parcours obtenu.

Prenons un cercle extérieur C de centre O et de rayon 1, puis le cercle concentrique C′ de rayon $\sqrt{2}\mathrm{/}2\backslash sqrt\{2\}/2$. Le point initial est M₀ = (1, 0). Le schéma matérialise les quatre sommets et les quatre points de tangence utilisés dans la vérification.

1. Choisissons successivement M₁ = (0, 1), M₂ = (−1, 0) et M₃ = (0, −1), tous situés sur C. Le quatrième côté revient de M₃ à M₀.

2. La droite du premier côté a pour équation $x+y=1x+y=1$. Sa distance au centre O vaut :Elle est donc tangente à C′. Par symétrie, les trois autres côtés le sont aussi.

3. Le parcours forme ainsi un carré inscrit dans C, circonscrit à C′, et se ferme exactement après quatre côtés. Ce carré fournit le polygone fermé exigé par l’hypothèse du théorème.

4. Le théorème garantit alors qu’un départ en n’importe quel autre point de C produit aussi un quadrilatère fermé tangent à C′. Dans ce cas concentrique, on peut contrôler le résultat en faisant tourner le carré autour de O : les rayons et les tangences restent inchangés.

Pour construire un polygone entre deux coniques, on part d’un sommet de la conique extérieure, on choisit une tangente à la conique intérieure et on prend sa seconde intersection avec la conique extérieure. Le même choix de branche doit être conservé à chaque étape.

Pour tester une paire de coniques, un seul parcours fermé suffit comme témoin. Une fois sa fermeture et toutes ses tangences vérifiées, le théorème dispense de recommencer le test pour chaque point initial.

Si le parcours ne revient pas exactement au point de départ après le nombre de côtés examiné, on ne peut pas conclure à partir d’un dessin approché. Il faut contrôler les intersections et les tangences, ou employer un critère algébrique adapté à la paire de coniques.

Un polygone seulement inscrit. Ses sommets sont sur une conique, mais ses côtés n’ont pas nécessairement une conique commune à laquelle ils sont tous tangents. Un carré quelconque inscrit dans un cercle ne relève de Poncelet qu’après vérification de cette seconde condition.

Une construction réussie pour un seul départ. Trouver un polygone fermé établit l’hypothèse ; le contenu remarquable du théorème est l’indépendance du point initial. Vérifier uniquement le premier polygone ne démontre donc pas, à lui seul, la conclusion générale.

Fermeture approchée. Sur un dessin ou dans un calcul numérique, le dernier sommet peut sembler rejoindre le premier sans lui être égal. Ce voisinage ne suffit pas : il faut une fermeture exacte, ou une preuve tenant compte de l’erreur numérique.

Mauvaise tangente. Depuis un sommet extérieur à K, deux tangentes peuvent être disponibles. Alterner arbitrairement leur côté change le parcours. Il faut suivre de façon cohérente la branche qui définit la construction polygonale considérée.

Nombre de côtés non transférable. La fermeture en quatre côtés de l’exemple vaut pour les rayons 1 et √2/2. Modifier l’une des coniques modifie la paire ; le théorème ne garantit alors ni quatre côtés ni même une fermeture.

Configuration dégénérée. Si une conique se réduit à des droites ou si les intersections et tangentes nécessaires ne sont pas définies dans le plan réel, l’image du polygone emboîté cesse de s’appliquer. Il faut alors préciser le cadre projectif et traiter séparément les dégénérescences.

La notion de conique précise les courbes qui portent les sommets et les tangences. La géométrie projective fournit le cadre dans lequel ces configurations restent naturelles au-delà du cas familier des deux cercles.