porisme de Steiner

Imaginez deux cercles, l’un à l’intérieur de l’autre, sans contact. Dans l’espace qui les sépare, placez un petit cercle tangent aux deux, puis d’autres petits cercles, chacun touchant les deux cercles fixes et son voisin. La chaîne avance ainsi autour du cercle intérieur.

Il peut sembler que le point de départ décide du raccord final. Le porisme de Steiner dit le contraire : si un départ produit une chaîne fermée, tous les départs admissibles la ferment. La figure illustre un cas où six cercles accomplissent exactement un tour.

Le porisme de Steiner est un théorème de clôture pour une chaîne de cercles. On fixe un cercle extérieur C et un cercle intérieur C′, strictement contenu dans C et non tangent à celui-ci. Un cercle de la chaîne se trouve dans la région comprise entre C et C′ : il est tangent intérieurement à C et tangent extérieurement à C′. Deux cercles consécutifs de la chaîne sont également tangents entre eux.

Après le choix d’un premier cercle admissible C₁ et d’un sens de parcours, on construit successivement C₂, C₃, puis les suivants, en conservant ces trois tangences. Si la chaîne revient exactement à C₁ après un nombre fini de maillons, elle est fermée. Le nombre de maillons avant le retour est alors un entier.

Le résultat porte sur l’alternative suivante : pour une même paire C et C′, l’existence d’un seul départ qui ferme la chaîne entraîne la clôture pour tout autre départ admissible. Sinon, aucun départ ne la ferme. L’invariance concerne donc le choix de C₁, pas les rayons ni la position relative des deux cercles fixes.

Prenons deux cercles concentriques, donc de même centre O.
Données : le cercle extérieur C a pour rayon 6 ; le cercle intérieur C′ a pour rayon 2 ; chaque cercle de la chaîne a pour rayon 2 ; son centre est à distance 4 de O.

1. Pour chaque petit cercle, la distance de son centre à O augmentée de son rayon vaut 4 + 2 = 6. Il est donc tangent intérieurement à C.

2. Cette même distance vaut aussi la somme des rayons 2 + 2 = 4. Le petit cercle est donc tangent extérieurement à C′.

3. Plaçons les centres des petits cercles aux sommets d’un hexagone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 4. Deux sommets consécutifs sont distants de 4, somme des deux petits rayons : les voisins sont tangents.

4. Après six positions espacées d’un sixième de tour, la position suivante est la première. La chaîne se ferme donc avec six cercles. Le contrôle est refaisable : toutes les tangences reposent sur les trois égalités 4 + 2 = 6, 2 + 2 = 4 et côté de l’hexagone = 4.

Dans un tracé au compas ou dans un logiciel de géométrie, on commence par fixer les deux cercles supports. On construit ensuite plusieurs maillons en gardant les trois tangences. Si un petit écart apparaît au raccord, on ne conclut pas trop vite : il faut distinguer une erreur de tracé d’une chaîne réellement ouverte.

Pour tester un cas simple, les cercles concentriques sont préférables à une paire décentrée : tous les maillons ont alors le même rayon et leurs centres sont régulièrement répartis. Une paire décentrée montre mieux la variation de taille des maillons, mais elle rend la vérification des tangences moins immédiate.

Une chaîne quelconque de cercles tangents. Des cercles peuvent se toucher de proche en proche sans former une chaîne de Steiner. Le critère décisif est que chaque maillon soit aussi tangent aux deux mêmes cercles fixes C et C′. Une rangée de cercles tangents sur une droite ne satisfait pas cette condition.

La chaîne et le porisme. La chaîne est la configuration de cercles ; le porisme est l’énoncé d’indépendance du départ. Construire une seule chaîne fermée donne un exemple de configuration et, sous les hypothèses du théorème, déclenche la conclusion pour tous les autres départs admissibles.

Cercles supports tangents. Si C′ touche C, la région entre eux s’annule au point de contact. L’hypothèse « intérieur et non tangent » n’est plus satisfaite ; le porisme énoncé ici ne s’applique pas. Il faut traiter cette configuration dégénérée séparément.

Fermeture visuelle seulement. Sur un dessin approché, le dernier cercle peut sembler toucher le premier tout en le chevauchant ou en laissant un interstice. La clôture exige le retour exact à la configuration initiale. Il faut contrôler les distances entre centres et les rayons, à la précision du tracé.

Mauvais objet tenu fixe. Déplacer C ou C′ en même temps que le premier maillon change le problème. L’indépendance affirmée ne concerne que le choix de C₁ pour une paire de cercles supports inchangée. Les rayons et la position relative de C et C′ restent des données du test.

L’article Des cercles touchants prolonge l’étude des configurations où la tangence organise plusieurs cercles et aide à replacer la chaîne de Steiner dans cette famille géométrique.