La notion de tangence est celle de la linéarisation locale d’une courbe. Le cercle, pouvant être considéré comme la plus simple et esthétique courbe, apparaît naturellement dans de nombreux problèmes de tangence. Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède traite ainsi, entre autres, de l’arbelos (voir article « L'arbelos d'Archimède à Pappus ») et Apollonius de Perge de problèmes de contacts entre cercles, droites et points. On n’a gardé trace du Traité des contacts d’Apollonius que grâce à Pappus d’Alexandrie, qui fut l’un des principaux propagateurs de la culture mathématique grecque. Les résumés partiels qu’il fit des œuvres perdues de l’Antiquité suscitèrent la curiosité de nombreux mathématiciens des XVIe et XVIIe siècles, comme François Viète (1540‒1603) et René Descartes (1596‒1650).
Vers l’inversion
----------------
À la fin du XVe siècle, Regiomontanus (1436‒1476) avait trouvé une solution algébrique au dixième et dernier problème d’Apollonius, « trouver un cercle tangent à trois cercles donnés ».
François Viète mit alors au défi le médecin et mathématicien d’outre-Quiévrain Adrien Romain (1561‒1615) de résoudre géométriquement ce problème. Ce dernier en donne rapidement une solution, mais à l’aide de coniques, ce qui ne peut satisfaire un puriste : « Éminent Adrien, tant qu’on touche le cercle par des hyperboles, on ne le touche pas finement. »
François Viète reconstitue alors les solutions perdues du Traité des contacts dans son Apollonius Gallus. À sa suite, Descartes complète ce problème en 1643 par un théorème (voir encadré), que Fermat généralisera avec des sphères.
