La tangence

En géométrie plane, la tangente, on connaît tous… dès lors que la construction met en scène un cercle (C), une droite (D) et un point P. Pour autant, il est des situations autrement plus riches ! Avec uniquement des cercles tangents, une diversité extraordinaire émerge. Ainsi l’arbelos, dont la vertigineuse construction itérative donne naissance à des propriétés foisonnantes, toutes plus étonnantes les unes que les autres, a-t-elle fasciné les Anciens. Les cercles jumeaux d’Archimède et les chaînes de Pappus nous plongent au cœur d’une transformation géométrique des plus élégantes, l’inversion. Plus près de nous, les cercles de Malfatti permettent de revisiter sous un autre angle la notion de cercle inscrit. La tangence n’a pas fini de nous émerveiller !

L’infinie variété des trajectoires du plan semblait échapper à toute classification. Pourtant, les courbes lisses partagent une propriété commune : quand on « zoome » sur un point générique, on « voit » une droite ! Les notions de tangente et de dérivée ont permis, bien tardivement, de formaliser cette observation. La tangente reste aujourd’hui un outil universel puissant pour étudier les courbes et essayer de mettre à jour leurs propriétés. Attention cependant à ne pas confondre la tangente à une courbe avec son asymptote à l’infini. A priori, aucune confusion n’est possible. Mais gare aux conclusions hâtives : la géométrie projective vous réserve des surprises !

De par ses propriétés, la tangente peut être interprétée de différentes manières : droite approximant une courbe, trajectoire d’un rayon lumineux, géodésique d’un espace particulier… Selon le point de vue adopté, la tangente considérée véhicule alors une caractéristique particulière du problème étudié. En physique, par exemple, on va se servir des propriétés focales des coniques pour expliquer un phénomène. En économie, les droites de budget vont aider à identifier les politiques d’investissement réalisables d’une entreprise. À tout problème, sa droite, qui bien souvent se trouve être une tangente !