L’inversion de la puissance

Pour une demi-droite issue d’un point O qui coupe un cercle (C) aux points A et B, le produit ${\text{P}}_{\text{C}}(\text{O})=\overline{\text{OA}}\times \overline{\text{OB}}\backslash text\{P\}\_\{\backslash text\{C\}\}(\backslash text\{O\})\; =\; \backslash overline\{\backslash text\{OA\}\}\; \backslash times\; \backslash overline\{\backslash text\{OB\}\}$ définit la puissance du point O par rapport au cercle (C). Cette notion peut être simplement définie avec celle d’angle inscrit et l’ancestral théorème de Thalès. C’est en l’étudiant que Jakob Steiner découvrit, en 1824 seulement, l’inversion, une transformation dont tous les éléments étaient pourtant connus depuis Euclide.

Une inversion i de pôle O est, comme les symétries, une transformation involutive, donc telle que i composée avec elle-même soit l’identité. Elle fait correspondre à tout point M différent du pôle O le point image, ou homologue, M’ = i(M) sur la droite (OM) tel que $\overline{\text{OM}}\times \overline{\text{OM’}}=k,\backslash overline\{\backslash text\{OM\}\}\; \backslash times\; \backslash overline\{\backslash text\{OM\text{'}\}\}\; =\; k,$ où k est un nombre réel donné.

En raison de l’analogie manifeste de cette expression avec celle de la puissance d’un point, la constante k est appelée puissance de l’inversion.

Le cercle (C) de centre O et de rayon $\sqrt{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}=\text{OT},\backslash sqrt\{|k|\}\; =\; \backslash text\{OT\},$ appelé cercle d’inversion, est invariant point par point et est la frontière entre les points intérieurs et extérieurs échangés par l’inversion. Tout point N du segment [IB] aura son image P = i (N) dans le segment [IA], et réciproquement N = i (P).