Pour un quadrilatère inscrit dans un cercle, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs de ses côtés opposés.
On a AC × BD = AB × CD + AD × BC.
Ce théorème contient en fait celui de Pythagore : prenez un rectangle de longueurs de côtés a et b et de longueur de diagonale c ; il s’agit bien d’un quadrilatère inscriptible, et le théorème de Ptolémée affirme que c × c = a × a + b × b. C’est la relation de Pythagore !
Ptolémée a démontré son théorème par la géométrie classique des triangles semblables et le théorème de l’angle inscrit, selon lequel des angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc sont égaux (voir Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009 et Les Angles, Bibliothèque Tangente 53, 2015). Ici, nous allons l’obtenir comme cas d’égalité dans une inégalité, tout d’abord en utilisant le plan complexe, c’est-à-dire le plan euclidien habituel où chaque point est repéré par son affixe (ses coordonnées vues comme un nombre complexe).
