Dans le livre I de ses Éléments, Euclide donne les définitions des objets de la géométrie et ajoute cinq « demandes », appelées postulats par Proclus, pour établir les fondements de sa géométrie, et des « notions communes ». Les quatre premiers postulats concernent la construction de la droite, du cercle et l’universalité de l’angle droit. Ils n’ont, au cours des temps, pas posé de problèmes. Il n’en est pas de même du plus célèbre de ses postulats, ou axiomes, le cinquième dans les éditions récentes, dit axiome des parallèles, exprimé de nos jours sous la forme : « Par un point pris hors d’une droite, il ne passe qu’une parallèle à cette droite. » Après vingt-deux siècles de recherches infructueuses, on assiste à la naissance de la géométrie hyperbolique. Le 3 novembre 1823, János Bolyai (1802–1860) écrit à son père Farkas qu’il a « créé un nouvel autre monde à partir de rien ». À la même époque, et indépendamment, Nikolaï Lobatchevski (1792–1856) obtient un résultat similaire.
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La géométrie projective
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Désormais, on ne parle plus de La Géométrie, mais des géométries. Sous l’impulsion de Félix Klein (1849–1925), les études géométriques consistent à rechercher les éléments invariants par un groupe caractéristique de transformations. Ainsi, pour notre usuelle géométrie euclidienne, une figure « ne change pas » (en forme et en dimension) avec les isométries que sont les rotations et les translations ; elle « ne change pas » (en forme) par un changement d’échelle, ou homothétie. L’ensemble de ces transformations constitue le groupe des similitudes et n’est rien d’autre qu’une application affine, dans le plan complexe, de la forme
Issue de l’étude de la perspective, ou projection centrale, la géométrie projective ignore les notions de mesure et d’orthogonalité, et ne distingue pas les coniques entre elles.
