modèle de Klein-Beltrami

Imaginez un disque dessiné sur une feuille. Un point de la géométrie hyperbolique devient un point situé à l'intérieur du disque, tandis qu'une droite devient la corde qui relie deux points. Les cordes semblent droites sur la feuille, mais les distances et les angles ne se lisent pas avec les règles habituelles. Le bord du disque représente l'infini : on peut s'en approcher sans jamais l'atteindre. Cette image permet de voir comment une géométrie à courbure négative tient dans une figure plane.

Le modèle de Klein-Beltrami est une représentation projective de la géométrie hyperbolique dans un disque ouvert. Les points hyperboliques sont les points intérieurs du disque. La droite hyperbolique passant par deux points distincts est la corde euclidienne qui les relie, prolongée jusqu'au bord du disque. Le bord n'appartient pas au modèle : il représente des points à l'infini et ne fournit donc pas de points ordinaires. Une conséquence essentielle est que les cordes correspondant à des droites hyperboliques peuvent se couper à l'intérieur du disque, alors que deux cordes parallèles au sens hyperbolique ne se rencontrent pas dans ce disque. La représentation est projective : elle conserve l'alignement et les intersections, mais pas en général les angles ni les longueurs euclidiennes. Il faut donc distinguer la corde visible de la métrique hyperbolique qui lui attribue ses distances. Cette construction donne une forme concrète à la géométrie non euclidienne étudiée par Bolyai et Lobatchevski. Historiquement, Beltrami l'a reliée à la géométrie des géodésiques d'une pseudosphère, surface engendrée par la rotation d'une tractrice autour de son asymptote et de courbure gaussienne constante négative.

Considérons le disque unité, c'est-à-dire le disque de centre O et de rayon 1 dans un repère euclidien. Prenons les deux points A=(−0,6 ; 0,2) et B=(0,7 ; 0,5), qui sont intérieurs au disque. Données : le centre est O=(0 ; 0), le rayon vaut 1, A=(−0,6 ; 0,2) et B=(0,7 ; 0,5).

La première coordonnée de A donne −0,6 et la seconde donne 0,2. La longueur OA² vaut 0,6² + 0,2² = 0,4, donc OA = √0,4 ≈ 0,632, inférieur à 1. Pour B, OB² vaut 0,7² + 0,5² = 0,74, donc OB = √0,74 ≈ 0,860, également inférieur à 1.

La corde hyperbolique reliant A à B est le segment euclidien [AB]. Sa variation horizontale vaut 0,7 − (−0,6) = 1,3 et sa variation verticale vaut 0,5 − 0,2 = 0,3. Sa longueur euclidienne vaut donc √(1,3² + 0,3²) = √1,78 ≈ 1,334.

Le résultat à retenir est que [AB] représente la droite hyperbolique passant par A et B, tandis que 1,334 est seulement sa longueur euclidienne dans le dessin. La distance hyperbolique correspondante n'est pas cette longueur de segment.

Un contrôle refaisable consiste à vérifier les deux inégalités OA² < 1 et OB² < 1. Elles confirment que A et B appartiennent bien au disque ouvert et que la corde [AB] est une droite du modèle.

Pour visualiser une droite hyperbolique, on place deux points à l'intérieur du disque puis on trace le segment qui les relie. Ce geste suffit pour l'alignement ; il ne suffit pas pour mesurer une distance ou un angle hyperbolique.

Pour comparer des parallèles, on observe si deux cordes se rencontrent à l'intérieur du disque. Si elles ne se coupent pas dans le disque, elles représentent des droites hyperboliques parallèles dans ce modèle. Une construction métrique utilisant un autre modèle devient préférable lorsque les angles doivent être lus directement.

Pour travailler avec un calcul, on vérifie d'abord que chaque point satisfait la condition d'appartenance au disque. Cette vérification évite de traiter le bord, qui n'est pas un ensemble de points ordinaires du modèle.

Le modèle de Klein-Beltrami ne se confond pas avec le modèle du disque de Poincaré. Dans les deux cas, les points sont intérieurs à un disque et le bord représente l'infini, mais les droites hyperboliques sont des cordes dans le modèle de Klein et des arcs de cercle orthogonaux au bord dans le modèle de Poincaré. Le cas qui tranche est une droite ne passant pas par le centre : elle est encore un segment dans Klein, alors qu'elle devient un arc dans Poincaré.

Il ne faut pas non plus confondre une corde euclidienne avec une distance hyperbolique. Dans l'exemple, [AB] est la représentation de la droite, mais sa longueur euclidienne √1,78 ≈ 1,334 n'est pas la distance hyperbolique entre A et B. Le critère est la grandeur calculée : une longueur mesurée à la règle appartient au dessin, pas automatiquement à la métrique du modèle.

Le bord du disque est un cas limite essentiel. Un point vérifiant x² + y² = 1 n'appartient pas au disque ouvert ; il représente une direction vers l'infini. Le symptôme d'une erreur est de traiter ce point comme une extrémité ordinaire d'une droite. Il faut conserver l'inégalité stricte x² + y² < 1 pour les points du modèle.

La figure conserve l'alignement, mais elle ne conserve pas les angles. Deux cordes qui semblent former un angle droit dans le dessin ne permettent donc pas de conclure que les droites hyperboliques sont perpendiculaires. Il faut employer la métrique et la notion d'angle du modèle, ou choisir une représentation adaptée aux angles.

La pseudosphère ne recouvre pas toute la géométrie hyperbolique complète : elle fournit une réalisation locale liée à sa courbure négative constante. Le piège consiste à identifier sans réserve la surface entière au disque projectif. Il faut distinguer l'interprétation historique de Beltrami et le modèle projectif utilisé comme représentation globale.

L'article Les géodésiques de Mirzakhani prolonge la notion de géodésique dans un contexte de géométrie hyperbolique. Il permet de passer de la corde qui représente une droite dans le disque à l'étude de courbes privilégiées sur des surfaces hyperboliques.