quadrilatère hyperbolique

Imaginez une figure fermée à quatre côtés, tracée sur une surface où les lignes les plus droites peuvent se courber vues depuis l'extérieur. Dans le plan hyperbolique, les quatre angles d'un quadrilatère convexe ne remplissent pas tout un tour : leur somme reste inférieure à 360°. Plus la courbure négative et la région délimitée sont importantes, plus l'écart avec 360° peut être marqué. Cette différence est une signature géométrique du plan hyperbolique, et non une erreur de mesure.

Un quadrilatère hyperbolique est une région du plan hyperbolique délimitée par quatre segments géodésiques successifs, qui relient quatre sommets distincts. Une géodésique est, dans ce cadre, une ligne localement la plus courte. On suppose ici que la figure est simple et convexe, afin que ses côtés ne se croisent pas et que ses angles intérieurs soient bien définis.

Si ses angles intérieurs mesurent α, β, γ et δ, la propriété caractéristique s'écrit :

L'écart entre 360° et cette somme est appelé le défaut angulaire. Pour une courbure constante négative, il est lié à l'aire de la région, avec une constante qui dépend de la convention de courbure. Dans le cas limite où la courbure tend vers zéro, la géométrie euclidienne est retrouvée et la somme tend vers 360°.

Considérons un quadrilatère hyperbolique convexe dont les angles intérieurs sont les suivants : α = 90°, β = 90°, γ = 60° et δ = 60°.

On additionne les quatre angles :
${90}^{\circ }+{90}^{\circ }+{60}^{\circ }+{60}^{\circ }={300}^{\circ }90^\backslash circ+90^\backslash circ+60^\backslash circ+60^\backslash circ=300^\backslash circ$

On calcule ensuite le défaut angulaire :
${360}^{\circ }-{300}^{\circ }={60}^{\circ }360^\backslash circ-300^\backslash circ=60^\backslash circ$

La somme des angles vaut donc 300°, soit 60° de moins que dans un quadrilatère euclidien. Le contrôle est immédiat : 300° est bien strictement inférieur à 360°, ce qui concorde avec le caractère hyperbolique de la figure.

Pour reconnaître le cadre géométrique, on vérifie d'abord que les côtés sont des géodésiques du plan hyperbolique et que la figure est simple. On mesure ensuite ses quatre angles intérieurs dans le même modèle ou avec les outils adaptés à ce modèle.

Le calcul de leur somme sert à contrôler l'interprétation : une valeur inférieure à 360° est compatible avec un quadrilatère hyperbolique convexe. Pour une figure tracée dans le plan euclidien, on utilise la géométrie euclidienne, car le simple dessin d'un quadrilatère ne change pas de géométrie.

Un quadrilatère euclidien possède une somme d'angles égale à 360°, tandis qu'un quadrilatère hyperbolique convexe a une somme strictement inférieure à 360°. Le cas qui tranche est le total obtenu après avoir mesuré les quatre angles dans la géométrie concernée.

Un quadrilatère sphérique n'est pas une variante hyperbolique : sur une sphère, la somme des angles d'un quadrilatère convexe est supérieure à 360°. Le signe de l'écart à 360° permet de distinguer les trois géométries dans ce critère.

La règle de somme inférieure à 360° concerne ici un quadrilatère simple et convexe dont les côtés sont des géodésiques. Si les côtés se croisent, la région n'est plus une figure simple et la notion d'angles intérieurs doit être précisée avant tout calcul.

Le seuil charnière est 360° : une somme exactement égale à 360° correspond au cas euclidien dans la comparaison de courbure, tandis qu'une somme supérieure à 360° indique le comportement sphérique. Une figure très petite peut avoir une somme extrêmement proche de 360° ; cette proximité ne suffit donc pas à identifier le plan sans connaître le modèle et la précision des mesures.

Dans un modèle comme le disque de Poincaré, les géodésiques apparaissent souvent comme des arcs de cercle lorsqu'elles ne passent pas par le centre. Ce modèle est conforme : l'angle euclidien entre les tangentes aux arcs géodésiques est donc exactement l'angle hyperbolique. Il faut mesurer ces tangentes, et non l'angle formé par des cordes ou des segments arbitraires du dessin.

Pour prolonger cette idée, on peut étudier Les géodésiques de Mirzakhani. Cet article montre comment les géodésiques interviennent dans l'étude des surfaces hyperboliques et permet de replacer le quadrilatère dans une géométrie plus large.