géométrie de Lobatchevski-Bolyai

Tracez une droite, puis marquez un point qui n'est pas sur elle. Dans la géométrie ordinaire d'Euclide, une seule droite passant par ce point reste parallèle à la première. Dans la géométrie de Lobatchevski-Bolyai, il en passe une infinité.

Ce changement d'un seul postulat suffit à faire apparaître une géométrie cohérente, dite aussi géométrie hyperbolique. Les triangles y ont une somme d'angles strictement inférieure à deux angles droits.

La géométrie de Lobatchevski-Bolyai est une géométrie non euclidienne, également nommée géométrie hyperbolique. Elle conserve les quatre premiers postulats d'Euclide et rejette le cinquième, le postulat des parallèles. Le terme « parallèle » désigne ici toute droite géodésique disjointe de la droite de référence ; une géodésique joue dans cette géométrie le rôle d'une droite. Par un point extérieur à une droite, une infinité de parallèles à cette droite peuvent alors passer, au lieu d'une seule dans la géométrie euclidienne. Une formulation équivalente est l'hypothèse de l'angle aigu de Saccheri : la somme des angles d'un triangle est strictement inférieure à deux angles droits.

Lobatchevski et Bolyai ont construit indépendamment cette théorie cohérente au cours des années 1830, après les travaux de Saccheri, Lambert et Gauss. Elle se distingue de la géométrie elliptique développée peu après par Riemann, dans laquelle aucune parallèle ne peut être tracée.

La même géométrie hyperbolique peut être représentée par le disque de Beltrami-Klein, le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré ou l'hyperboloïde. Ces modèles sont isomorphes : leurs apparences diffèrent, mais ils représentent la même structure. En 1872, Klein les inscrit dans une lecture projective restreinte à l'intérieur d'une conique, dans le cadre du programme d'Erlangen.

On rencontre cette géométrie dans les textes consacrés au cinquième postulat d'Euclide et aux géométries non euclidiennes. Quatre repères la signalent : les noms de Lobatchevski et Bolyai, l'expression hypothèse de l'angle aigu, une infinité de parallèles par un point extérieur et une somme des angles d'un triangle inférieure à deux droits.

Elle apparaît aussi à travers ses supports de représentation : disque de Beltrami-Klein, disque ou demi-plan de Poincaré, et hyperboloïde. Le programme d'Erlangen de Klein en donne une interprétation projective à l'intérieur d'une conique.

La grandeur décisive à lire est le nombre de parallèles passant par un point extérieur à une droite donnée.

1. Repérez la droite de référence et vérifiez que le point choisi lui est extérieur.
2. Comptez les droites passant par ce point qui sont données comme parallèles à la droite de référence.
3. Une seule parallèle signale le cadre euclidien ; une infinité signale le cadre hyperbolique de Lobatchevski-Bolyai ; aucune signale le cadre elliptique de Riemann.
4. Contrôlez la lecture avec les triangles : dans le cas hyperbolique, leur somme angulaire est strictement inférieure à deux droits.

Le piège visuel vient des modèles : disque, demi-plan et hyperboloïde n'ont pas la même apparence. Leur différence de dessin ne signifie pas qu'ils décrivent des géométries distinctes, puisque ces modèles sont isomorphes.

On veut identifier la géométrie décrite par une règle de parallélisme. Données :
• une droite nommée d ;
• un point P extérieur à d ;
• une infinité de droites passant par P et parallèles à d.

1. Le point P est bien extérieur à d : la situation relève du postulat des parallèles.
2. Le nombre annoncé n'est ni zéro ni un, mais infini.
3. La règle euclidienne de l'unique parallèle est donc rejetée.
4. La situation correspond à la géométrie de Lobatchevski-Bolyai, ou géométrie hyperbolique.

Le contrôle est indépendant du dessin : si l'on considère un triangle dans cette même géométrie, la somme de ses angles doit être strictement inférieure à deux droits. Les deux critères sont équivalents dans la présentation issue de Saccheri.

Dans l'histoire des mathématiques, on suit les tentatives de Saccheri, Lambert et Gauss pour comprendre le cinquième postulat. Le passage décisif consiste à traiter sa négation comme le point de départ d'une théorie cohérente, construite par Lobatchevski et Bolyai.

Dans un texte qui ne parle pas directement de parallèles, l'expression hypothèse de l'angle aigu ou une somme des angles d'un triangle strictement inférieure à deux droits signalent aussi le cadre hyperbolique.

Pour changer de représentation sans changer de théorie, on passe entre le disque de Klein, les modèles de Poincaré et l'hyperboloïde. Leur isomorphisme autorise ce changement de support.

Géométrie euclidienne. Elle admet une seule parallèle à une droite par un point extérieur. Le même test en donne une infinité dans la géométrie de Lobatchevski-Bolyai.

Géométrie elliptique. Riemann remplace le cinquième postulat par l'impossibilité de tracer la moindre parallèle. Zéro parallèle caractérise donc ce cas, contre une infinité dans le cas hyperbolique.

Un modèle particulier. Le disque de Klein ou le demi-plan de Poincaré est une représentation de la géométrie hyperbolique, non une géométrie concurrente. Les différents modèles cités sont isomorphes.

Une image n'est pas la géométrie elle-même. Le disque, le demi-plan et l'hyperboloïde peuvent donner des impressions visuelles différentes. Il faut comparer les relations qu'ils représentent, car ces modèles sont isomorphes.

Le seuil angulaire est strict. L'hypothèse de l'angle aigu impose une somme des angles d'un triangle strictement inférieure à deux droits. Une somme égale à deux droits ne vérifie donc pas ce critère hyperbolique.

La négation du cinquième postulat n'est pas la seule géométrie non euclidienne. Le symptôme à vérifier reste le nombre de parallèles : l'infinité conduit au cas hyperbolique, tandis que l'absence de parallèle conduit au cas elliptique. Avec la convention retenue ici, ce comptage inclut les deux parallèles limites à la droite de référence ainsi que les autres droites disjointes, appelées ultraparallèles.

L'adoption des géométries non euclidiennes — Suivre le passage historique d'un postulat contesté à de nouvelles géométries reconnues.

Géodésique — Identifier la notion de ligne qui prolonge l'étude des modèles géométriques.

Les géodésiques de Mirzakhani — Découvrir un prolongement consacré aux géodésiques et à la géométrie hyperbolique.