plan hyperbolique de Poincaré

Imaginez une feuille dont on ne garde que les points situés au-dessus d’une ligne horizontale. Cette ligne reste une frontière inaccessible. Dans ce décor, les chemins qui jouent le rôle de droites prennent souvent la forme de demi-cercles dont le centre est posé sur la frontière. Les demi-droites verticales sont l’autre forme possible.

Cette représentation rend visible une différence essentielle avec la géométrie usuelle : par un point extérieur à une droite hyperbolique, plusieurs droites peuvent ne jamais la couper. Le dessin est euclidien, mais les distances et les droites qu’il code sont hyperboliques.

Le demi-plan de Poincaré est un modèle de la géométrie hyperbolique dans le plan complexe. Un point complexe s’écrit à l’aide de deux nombres réels, x et y, sous la forme $z=x+iyz=x+iy$. Le support, noté H, retient exactement les points pour lesquels y est strictement positif : $H=\{x+iy\mid x,y\in \mathbb{R},y>0\}H=\backslash \{x+iy\backslash mid\; x,y\backslash in\backslash mathbb\{R\},\backslash \; y>0\backslash \}$. La droite réelle, où y vaut zéro, est la frontière du modèle et n’appartient pas à H.

Les droites hyperboliques, aussi appelées géodésiques, sont les demi-cercles centrés sur la droite réelle, ainsi que les demi-droites verticales. Ces courbes rencontrent la frontière à angle droit dans le dessin euclidien. La métrique hyperbolique transforme les déplacements horizontaux et verticaux selon la hauteur : $d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}ds^2=\backslash frac\{dx^2+dy^2\}\{y^2\}$. C’est cette règle, et non l’apparence seule du dessin, qui réalise la géométrie de Lobatchevski.

Deux géodésiques qui ne se rencontrent pas dans H sont dites parallèles au sens large. Si elles partagent un point idéal sur la frontière, elles sont parallèles asymptotiques ; si leurs quatre extrémités sur la frontière sont distinctes et ne s’alternent pas sur la droite réelle, elles sont ultraparallèles. Si ces extrémités alternent, les géodésiques se coupent dans H. Par un point extérieur à une géodésique passent ainsi plusieurs géodésiques disjointes de celle-ci, contrairement au postulat euclidien d’unicité.

On rencontre ce modèle dans un repère formé par une ligne horizontale et toute la zone située au-dessus. Quatre marqueurs permettent de le reconnaître : la frontière est la droite réelle ; les points admis ont une partie imaginaire positive ; les droites sont des arcs orthogonaux à la frontière ou des verticales ; leurs extrémités sur la frontière ne font pas partie du plan.

Le support porte une géométrie complète, pas seulement un dessin d’arcs. Les coordonnées complexes localisent les points, tandis que la métrique hyperbolique fixe les longueurs, les angles et les géodésiques. Ce cadre sert notamment à représenter concrètement l’échec de l’unicité des parallèles.

Pour lire une figure dans le demi-plan, il faut déterminer les incidences hyperboliques : quels points appartiennent à une même géodésique et quelles géodésiques se coupent dans H.

1. Repérez la droite réelle, conventionnellement placée à la hauteur y = 0 ; elle est exclue du support.
2. Vérifiez qu’un arc représentant une droite a son centre sur cette frontière, ou qu’il est vertical.
3. Prolongez mentalement chaque géodésique jusqu’à ses extrémités idéales. Un contact uniquement sur la frontière n’est pas une intersection dans H.
4. Pour une distance, utilisez la métrique hyperbolique et non la longueur mesurée à la règle dans l’illustration.

L’œil peut croire qu’un petit espace près de la frontière représente une petite distance. C’est trompeur : le facteur 1/y de la métrique agrandit les déplacements lorsque y se rapproche de zéro. Le bon réflexe consiste à séparer les coordonnées du dessin de la mesure hyperbolique.

Considérons la géodésique L, demi-cercle de centre 0 et de rayon 1, et le point P de coordonnées (0, 2). Le point P est extérieur à L. On cherche deux géodésiques distinctes passant par P sans couper L.

Données. La frontière est y = 0. Le cercle support de L vérifie x² + y² = 1. Les deux autres centres sont C₋ = (−1, 0) et C₊ = (1, 0).

1. La distance euclidienne de chacun de ces centres à P vaut $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\backslash sqrt\{1^2+2^2\}=\backslash sqrt\{5\}$. Les demi-cercles M et N, de rayon √5, passent donc tous deux par P.

2. Pour chacun des grands cercles, la distance entre son centre et celui de L vaut 1. La différence des rayons vaut √5 − 1, strictement supérieure à 1. Le petit cercle est donc strictement à l’intérieur de chacun des grands cercles, sans point commun.

3. Dans H, M et N passent par P et sont sécantes en P, mais chacune est disjointe de L. On obtient deux parallèles à L passant par le même point extérieur. Le contrôle est refaisable en comparant 1, √5 et √5 − 1 ; cette dernière quantité est supérieure à 1.

Pour construire la géodésique passant par deux points du demi-plan, on cherche un cercle dont le centre est sur la droite réelle et qui contient ces deux points. Si les points sont alignés verticalement, la verticale remplace le demi-cercle.

Pour décider si deux droites hyperboliques se coupent, on observe uniquement leur partie située au-dessus de la frontière. Deux arcs qui atteignent le même point frontière sont disjoints dans H, même s’ils semblent s’y rejoindre.

Pour raisonner sur les parallèles, on compare les extrémités idéales. Une extrémité commune indique un parallélisme asymptotique ; quatre extrémités distinctes et non alternées indiquent des droites ultraparallèles. Si les extrémités alternent sur la droite réelle, les géodésiques se coupent dans H.

Le demi-plan euclidien. Il utilise le même ensemble de points, mais ses droites et ses distances restent euclidiennes. Un demi-cercle centré sur la frontière tranche le cas : c’est une droite dans le modèle hyperbolique, pas dans le demi-plan euclidien.

Le disque de Poincaré. Il modélise la même géométrie sur l’intérieur d’un disque. Sa frontière est un cercle, alors que celle du demi-plan est la droite réelle ; ce marqueur permet de distinguer immédiatement les deux représentations.

Le plan complexe entier. Le modèle ne retient que les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Un point réel ou situé sous l’axe horizontal appartient au plan complexe, mais pas au demi-plan hyperbolique de Poincaré.

Oublier les verticales. La description par demi-cercles a un cas limite : les demi-droites verticales sont aussi des géodésiques. Lorsqu’aucun cercle de centre fini sur la frontière ne convient, il faut vérifier si les points ont la même abscisse.

Compter la frontière comme une intersection. Deux géodésiques peuvent avoir la même extrémité réelle sans se rencontrer dans H, car y = 0 est exclu. Il faut chercher un point commun de hauteur strictement positive.

Employer « parallèles » sans précision. Des géodésiques disjointes peuvent partager une extrémité idéale ou n’en partager aucune. Il faut préciser « asymptotiques » dans le premier cas et « ultraparallèles » dans le second lorsque cette distinction intervient.

Mesurer le dessin à la règle. Une longueur euclidienne visible n’est pas une distance hyperbolique. Le symptôme est particulièrement net près de y = 0, où le facteur 1/y devient arbitrairement grand ; il faut intégrer la métrique le long du chemin considéré.

Le demi-plan ouvre sur l’étude des isométries hyperboliques. Certaines transformations fractionnaires à coefficients réels envoient H sur lui-même, préservent les géodésiques et permettent de déplacer une configuration sans changer ses longueurs ni ses angles hyperboliques.

Une autre piste consiste à relier le demi-plan au disque de Poincaré par une transformation conforme. Les deux dessins diffèrent, mais ils codent la même géométrie ; comparer leurs frontières idéales éclaire ce qui dépend du modèle et ce qui appartient à la structure hyperbolique.