Lobatchevski Nikolaï

À quatorze ans, Nikolaï Lobatchevski entre à l’université de Kazan. Il y obtient son diplôme en 1811, puis y enseigne les mathématiques et la physique avant d’en devenir recteur.

Son idée décisive concerne les parallèles. Au lieu de forcer une démonstration du cinquième postulat d’Euclide, il bâtit une géométrie où plusieurs chemins droits peuvent passer par un même point sans rencontrer une droite donnée. Cette théorie cohérente porte aujourd’hui le nom de géométrie hyperbolique.

Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792–1856) est un mathématicien russe et l’un des fondateurs de la géométrie non euclidienne. Issu d’une famille modeste et orphelin de père à sept ans, il manifeste une grande précocité. Formé à Kazan par Martin Bartels, ami de Gauss, il renonce à traiter le cinquième postulat d’Euclide comme un théorème à démontrer. Il développe à la place une théorie cohérente fondée sur une autre règle des parallèles.

Dans cette géométrie hyperbolique, par un point extérieur à une droite passent une infinité de droites qui ne rencontrent pas la droite donnée. Selon la convention de vocabulaire, seules les deux droites limites peuvent être appelées « parallèles » ; les autres sont dites ultraparallèles. L’énoncé de la source emploie « parallèles » au sens large de droites disjointes. La géométrie euclidienne s’obtient comme un cas limite lorsque la courbure tend vers zéro.

Lobatchevski publie notamment Géométrie imaginaire en 1837, Nouveaux fondements de géométrie en 1838, Recherches géométriques sur la théorie des parallèles en 1840 et Pangéométrie en 1855. Ses textes paraissent en russe, en français et en allemand. Son ouvrage Geometriya, achevé en 1823, n’est publié dans sa forme originale qu’en 1909. La portée de ses travaux n’est reconnue qu’après sa mort.

Le parcours de Lobatchevski se repère à Kazan : étudiant à quatorze ans dans une université fondée peu avant, diplômé en 1811, professeur, puis recteur. Sous son impulsion, l’établissement acquiert un observatoire, des laboratoires et une bibliothèque de premier plan. Malgré une épidémie de choléra et un grand incendie, il devient un centre universitaire reconnu.

Lobatchevski prend sa retraite en 1846, puis sa santé se dégrade rapidement. Sa trace mathématique apparaît dans les expressions « géométrie de Lobatchevski », « géométrie hyperbolique » et « géométrie non euclidienne ». Une représentation conforme donnée par Henri Poincaré en 1882 rend cette géométrie accessible sur un support euclidien.

Dans une représentation conforme de type disque de Poincaré, il faut lire les lignes géométriques plutôt que leur apparence euclidienne. La figure proposée montre une droite par un diamètre noir, un point rouge extérieur à cette droite et trois droites hyperboliques rouges qui passent par ce point sans couper la droite noire.

1. Le cercle extérieur est la frontière du modèle ; il n’appartient pas au plan hyperbolique représenté.
2. Une droite hyperbolique est figurée par un diamètre ou par un arc de cercle orthogonal à cette frontière.
3. Deux droites se rencontrent seulement si leurs tracés se coupent à l’intérieur du disque.
4. Trois arcs visibles ne sont qu’un échantillon : leur centre peut varier continûment, ce qui donne une infinité de droites disjointes de la droite noire.

L’œil peut croire que ces arcs sont « courbes » et donc ne sont pas des droites. C’est un effet du modèle : il préserve les angles, pas les formes ni les distances euclidiennes. Le bon réflexe consiste à appliquer les règles du modèle avant de juger le tracé.

Un lecteur veut établir comment une question ancienne sur les parallèles devient une nouvelle géométrie. Les données sont le cinquième postulat d’Euclide, l’enseignement reçu de Martin Bartels et quatre publications datées de Lobatchevski.

1. Il identifie le changement de démarche : Lobatchevski ne cherche plus à démontrer le cinquième postulat à partir des autres principes d’Euclide.

2. Il formule l’alternative : par un point extérieur à une droite, une infinité de droites peuvent ne jamais rencontrer cette droite. La figure en donne trois exemples dans un même modèle.

3. Il vérifie que cette démarche produit une théorie développée, et non une intuition isolée : les jalons publiés sont 1837, 1838, 1840 et 1855.

4. Il distingue enfin rédaction et réception : Geometriya est achevé en 1823 mais publié dans sa forme originale en 1909, tandis que la portée de l’œuvre n’est reconnue qu’après la mort de Lobatchevski. Ce contrôle empêche de confondre date d’écriture, date de publication et reconnaissance.

Dans un cours d’histoire des mathématiques, Lobatchevski marque le passage d’une tentative de preuve du postulat des parallèles à la construction d’une théorie alternative cohérente. Le critère est la règle adoptée par un point extérieur à une droite.

Devant un dessin dans le disque de Poincaré, on suit les arcs orthogonaux au cercle frontière comme des droites hyperboliques. Une règle euclidienne ordinaire convient seulement si le problème reste en géométrie euclidienne.

Dans une bibliographie, les titres de 1837, 1838, 1840 et 1855 permettent de suivre l’élaboration publiée de la théorie. Pour Geometriya, il faut au contraire conserver les deux repères distincts : achèvement en 1823 et publication originale en 1909.

La géométrie hyperbolique n’est pas synonyme de toute géométrie non euclidienne. Elle est celle développée ici autour d’une infinité de droites disjointes ; « non euclidienne » est une famille plus large.

Une droite hyperbolique ne se reconnaît pas à sa forme sur la feuille. Dans le disque de Poincaré, elle peut apparaître comme un arc ; le critère est qu’il s’agit d’un arc de cercle orthogonal à la frontière, ou d’un diamètre.

Lobatchevski et Poincaré n’ont pas le même rôle dans la source. Lobatchevski construit la théorie ; Poincaré en donne en 1882 une représentation conforme élégante. Une représentation ultérieure ne transfère pas la fondation de la géométrie à son auteur.

Le mot « parallèle » varie selon les conventions hyperboliques. Si un texte réserve ce nom aux deux droites limites, parler d’une infinité de parallèles semble contradictoire. Il faut alors lire l’énoncé de la source au sens large : une infinité de droites passant par le point ne rencontrent pas la droite donnée.

Dire que la géométrie euclidienne est un cas limite ne signifie pas que tout dessin hyperbolique devient euclidien sans changement de cadre. La transition concerne une courbure qui tend vers zéro ; il faut préciser le modèle et l’échelle avant de comparer les distances.

La source présente l’hyperboloïde à une nappe comme un modèle naturel de la géométrie de Lobatchevski, sans donner sa construction. Cette seule mention ne permet pas d’identifier quelles courbes y représentent les droites ; il faut consulter une définition complète du modèle avant tout calcul.

Les dates bibliographiques n’établissent pas à elles seules une priorité détaillée entre tous les fondateurs des géométries non euclidiennes. La source qualifie Lobatchevski de l’un des fondateurs et indique une reconnaissance posthume ; il faut conserver ces deux nuances.

Trois lectures replacent l’œuvre de Lobatchevski dans l’histoire des géométries et dans leurs représentations.

L'adoption des géométries non euclidiennes prolonge la question historique de leur réception.

Euclide replace le cinquième postulat dans l’œuvre à laquelle Lobatchevski répond.

Poincaré Henri situe le mathématicien associé dans la source à une représentation conforme de 1882.