Beltrami Eugenio

Imaginez une surface en forme de selle, dont la courbure est négative partout et constante. Sur cette surface, les règles de la géométrie ne sont pas celles d'un plan euclidien : les lignes qui jouent le rôle des droites peuvent se comporter autrement. En 1868, Eugenio Beltrami a montré concrètement comment réaliser localement, sur une portion incomplète d'une telle surface appelée pseudosphère, la géométrie de Lobatchevski. Son modèle transforme ainsi une géométrie qui semblait abstraite en un objet géométrique que l'on peut étudier.

Eugenio Beltrami est un mathématicien et physicien italien dont le résultat géométrique majeur est un modèle de la géométrie de Lobatchevski. Un modèle réalise les objets et les relations d'une théorie dans un support concret, afin d'en étudier la cohérence. Ici, le support est une pseudosphère, c'est-à-dire une surface de courbure négative constante qui fournit une portion locale et incomplète du modèle hyperbolique.

La pseudosphère est engendrée par la rotation d'une tractrice autour de son asymptote. La tractrice fournit la courbe génératrice ; son asymptote fournit l'axe autour duquel cette courbe tourne. La portion de surface obtenue porte alors, localement, une géométrie qui fournit un modèle concret mais incomplet de la géométrie non euclidienne de Lobatchevski. Le modèle de Beltrami ne transforme donc pas un plan euclidien en surface courbe : il montre qu'une géométrie non euclidienne peut être réalisée localement sur un support géométrique précis.

Dans son article Essai d'interprétation de la géométrie non euclidienne, publié en 1868, Beltrami établit ainsi, sous l'hypothèse de cohérence de la géométrie euclidienne et des axiomes communs, une interprétation relative de la cohérence de la géométrie non euclidienne : la portion de pseudosphère fournit un modèle local et incomplet. Cette construction contribue à établir l'indépendance du cinquième postulat d'Euclide. Ses recherches s'inscrivent dans la géométrie différentielle, et ses contributions concernent aussi l'optique, la thermodynamique, l'élasticité et les champs électromagnétiques.

Prenons le cas décrit par Beltrami dans son travail de 1868. Il ne s'agit pas de calculer une longueur numérique, mais de suivre la construction qui donne son sens au modèle. Les données de départ sont une tractrice, son asymptote et la rotation de la première autour de la seconde.

1. Le schéma permet de repérer la tractrice : c'est la courbe rouge qui sert de génératrice à la surface ; elle passe par le point (0;1) et reste au-dessus de l'axe.
2. On repère son asymptote : c'est la droite noire y=0, qui fournit l'axe de rotation.
3. On suit la flèche de rotation pour faire tourner la tractrice autour de cet axe : la surface engendrée est la pseudosphère.
4. On contrôle la construction à partir des six points correspondant à t={0;0,5;1;1,5;2;2,5} : ils doivent suivre la tractrice paramétrée x=t−tanh(t), y=sech(t), avec a=1.
5. On considère sur cette surface les relations géométriques correspondant à la géométrie de Lobatchevski : on obtient un modèle concret de cette géométrie non euclidienne.

Le contrôle porte sur la nature et la portée du résultat : la construction doit produire une surface de courbure négative constante, et non une surface courbe quelconque, mais la pseudosphère ne fournit qu'un modèle local et incomplet, pas une réalisation globale du plan hyperbolique. La conclusion n'est pas que le cinquième postulat devient vrai ou faux dans le plan euclidien ; elle est que sa dépendance logique est indépendante des autres postulats, puisque cette portion de pseudosphère fournit une interprétation relative si la géométrie euclidienne est cohérente.

Pour raconter l'histoire des géométries non euclidiennes, le modèle de Beltrami donne un support concret : on part d'une surface et de sa courbure, puis on examine la géométrie qu'elle réalise. Cette approche est préférable à une simple liste d'axiomes lorsque l'on veut voir pourquoi la géométrie de Lobatchevski n'est pas une fantaisie sans objet.

En géométrie différentielle, la pseudosphère sert de cas d'étude d'une surface de courbure négative constante. Cette courbure est une propriété nécessaire du support, mais elle ne suffit pas à caractériser à elle seule un modèle hyperbolique complet. Si elle n'est pas constante et négative, on ne décrit pas la pseudosphère du modèle de Beltrami.

Pour situer Beltrami dans l'histoire des mathématiques, on relie ce modèle aux recherches de Lobatchevski, Riemann, Gauss et Luigi Cremona. Pour une lecture plus large de son œuvre, on peut ensuite examiner ses contributions à l'optique, à la thermodynamique, à l'élasticité et aux champs électromagnétiques.

Le modèle de Beltrami n'est pas la géométrie euclidienne elle-même. La géométrie euclidienne est la théorie dont la cohérence sert de point de comparaison logique ; le modèle de Beltrami est une réalisation sur une pseudosphère de la géométrie de Lobatchevski. Le critère qui tranche est donc le support et la géométrie réalisée : plan euclidien d'un côté, surface de courbure négative constante de l'autre.

Une pseudosphère n'est pas non plus une surface quelconque de courbure négative. La pseudosphère du modèle est engendrée par la rotation d'une tractrice autour de son asymptote et sa courbure est négative constante. Une surface qui possède seulement une courbure négative sans ces propriétés ne suffit pas à désigner le modèle de Beltrami.

Le mot « modèle » doit être compris au sens logique et local. Beltrami ne prétend pas que toutes les surfaces courbes réalisent la géométrie de Lobatchevski, ni que la pseudosphère soit une réalisation globale complète du plan hyperbolique. Le symptôme d'une lecture trop large est de remplacer la pseudosphère par une surface quelconque ; il faut conserver la courbure négative constante et la construction par rotation de la tractrice autour de son asymptote.

La conclusion sur le cinquième postulat est également précise. Le modèle ne prouve pas que les énoncés géométriques sont tous identiques dans les deux géométries ; sous l'hypothèse de cohérence de la géométrie euclidienne et des axiomes communs, cette portion locale et incomplète établit une interprétation relative de la cohérence annoncée par Beltrami. Le piège consiste à confondre indépendance logique et simple différence de dessin.

Enfin, la biographie ne se réduit pas au modèle géométrique. Beltrami a aussi travaillé en physique mathématique, notamment en optique, thermodynamique, élasticité et champs électromagnétiques. Une présentation qui le cantonnerait à la géométrie serait incomplète, même si le modèle de 1868 reste le point d'entrée de cette fiche.

Pour prolonger la réflexion, on peut comparer le modèle de Beltrami aux recherches de Lobatchevski, Riemann, Gauss et Luigi Cremona, que la source place dans sa lignée intellectuelle. L'enjeu est de distinguer les résultats de géométrie non euclidienne, l'étude différentielle des surfaces et les modèles qui relient une théorie abstraite à un support concret.

La lecture de l'œuvre de Beltrami peut aussi s'élargir à ses travaux de physique mathématique : optique, thermodynamique, élasticité et champs électromagnétiques. Le recueil posthume Opere Matematiche rassemble ses travaux et permet de replacer le modèle de 1868 dans un ensemble plus vaste.