GéométrieThéorème · Glossaire
axiome d'Euclide
L'axiome d'Euclide, également appelé cinquième postulat d'Euclide ou axiome des parallèles, est l'un des fondements de la géométrie euclidienne. Dans sa formulation classique, il énonce que par un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule droite parallèle à cette droite. L'énoncé original des Éléments précise que deux droites coupées par une sécante se rencontrent du côté où la somme des angles intérieurs est inférieure à deux droits. Ce postulat a occupé les mathématiciens pendant plus de deux millénaires, car sa complexité laissait supposer qu'il était peut-être démontrable. C'est au 19e siècle que Lobatchevski, Riemann, Bolyai et Poincaré construisirent des géométries non euclidiennes qui conservent les autres postulats considérés tout en mettant en défaut le cinquième. Leur cohérence étant établie relativement à celle du système de base, ces modèles montrent, si ce système est cohérent, que le cinquième postulat ne se déduit pas des autres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler l’existence et l’unicité de la parallèle passant par un point extérieur à une droite.
- Relier la forme usuelle à l’énoncé original fondé sur une somme d’angles intérieurs.
- Vérifier dans un repère pourquoi y = 2 est l’unique parallèle à y = 0 passant par P(0 ; 2).
- Distinguer axiome et théorème, droites parallèles et droites gauches.
- Repérer les changements de conclusion dans les géométries non euclidiennes.
En clair
Tracez une droite sur une feuille, puis placez un point qui n’est pas sur cette droite. Parmi toutes les droites passant par ce point, certaines coupent la première. Dans la géométrie plane habituelle, une seule ne la rencontrera jamais : elle a exactement la même direction.
L’axiome d’Euclide affirme cette existence et cette unicité. Il ne se déduit pas des autres postulats : changer cette règle conduit à d’autres géométries, tout aussi cohérentes.
Définition
L’axiome d’Euclide est le cinquième postulat sur lequel repose la géométrie euclidienne. Sa forme usuelle concerne une droite d et un point P extérieur à d, tous deux situés dans un même plan. Elle affirme qu’il existe exactement une droite p passant par P qui ne rencontre pas d : les droites p et d sont parallèles.
La formulation originale des Éléments porte sur deux droites coupées par une sécante. Si, d’un même côté, les deux angles intérieurs ont une somme strictement inférieure à deux angles droits, soit , alors les deux droites finissent par se rencontrer de ce côté. Dans le cadre des autres postulats euclidiens, cette formulation et la forme usuelle expriment la même propriété.
Pendant plus de deux millénaires, on a cherché à démontrer ce postulat à partir des autres. Au 19e siècle, Lobatchevski, Bolyai, Riemann et Poincaré ont contribué à construire des géométries qui conservent les autres axiomes considérés mais où le cinquième postulat n’est plus vrai. Leur cohérence étant établie relativement à celle du système de base, elles montrent, si ce système est cohérent, que le cinquième postulat ne se déduit pas des autres : il doit être ajouté pour obtenir la géométrie euclidienne.
Le principe
Dans un plan euclidien, soit d une droite et P un point qui n’appartient pas à d. Alors il existe une unique droite p qui passe par P et qui est parallèle à d.
L’énoncé contient deux affirmations indissociables : au moins une telle droite existe, et deux droites distinctes passant par P ne peuvent pas toutes deux éviter d. Cette règle fixe donc à la fois la construction et son unicité.
Quand l'utiliser
L’axiome s’applique dans un plan de géométrie euclidienne. Il faut connaître une droite d et un point P qui n’est pas sur d. Le mot « parallèle » signifie ici que deux droites du même plan ne possèdent aucun point commun. Sous ces conditions, une seule parallèle à d passe par P.
Si P appartient à d, la condition « point extérieur » échoue : aucune droite distincte de d, passant par P, ne peut lui être parallèle. Sur une surface sphérique, les droites euclidiennes ne sont pas le bon objet ; les géodésiques, comme les grands cercles, se rencontrent. Il faut alors employer la géométrie adaptée à cette surface au lieu d’invoquer l’axiome euclidien.
Un exemple, pas à pas
Données. Dans un repère euclidien, la droite d a pour équation y = 0 et le point extérieur est P(0 ; 2). Une droite passant par P et de coefficient directeur m a pour équation .
1. Prenons m = 0. L’équation devient y = 2. Cette droite p passe bien par P et n’a aucun point commun avec d, puisque y ne peut pas valoir à la fois 0 et 2.
2. Prenons maintenant une valeur non nulle de m. Pour trouver l’intersection avec d, on impose y = 0, donc .
3. Comme m n’est pas nul, l’abscisse existe. Toute droite de cette famille dont la pente est non nulle coupe donc d.
4. Par exemple, pour m = 1, la droite q d’équation y = x + 2 rencontre d au point A(−2 ; 0). Seule la valeur m = 0 donne la parallèle p.
Contrôle. Le schéma montre que p garde la même direction que d, tandis que q atteint d en A. Le calcul illustre l’axiome dans le modèle coordonné euclidien ; il ne constitue pas une démonstration du postulat à partir des autres.
En pratique
Construction plane. Pour tracer par P une droite parallèle à d, on reporte une direction identique avec une règle et une équerre. Si le support est courbe, cette construction plane doit être remplacée par celle des géodésiques.
Coordonnées. Deux droites non verticales de même pente et d’ordonnées à l’origine différentes sont parallèles. Si les pentes diffèrent, on résout leurs équations pour trouver leur intersection.
Démonstrations. L’axiome autorise des résultats propres à la géométrie euclidienne, notamment ceux qui reposent sur l’unicité d’une parallèle. Si cette unicité n’est pas admise, il faut vérifier le résultat dans la géométrie choisie.
À ne pas confondre
Axiome et théorème. Un axiome est admis dans une théorie ; un théorème y est démontré. L’existence d’une unique parallèle est ici le choix de départ, pas la conclusion d’une preuve fondée seulement sur les autres postulats.
Forme usuelle et énoncé original. La première parle d’une parallèle par un point ; le second fait intervenir une sécante et une somme d’angles. Le vocabulaire diffère, mais, avec les autres postulats euclidiens, les deux formulations sont équivalentes.
Droites parallèles et droites gauches. Deux droites parallèles sont coplanaires et ne se rencontrent pas. Dans l’espace, deux droites non coplanaires peuvent aussi ne jamais se couper : elles sont gauches, et l’axiome plan ne les caractérise pas.
Limites et pièges
Le plan est indispensable. Dans l’espace à trois dimensions, par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites qui ne la rencontrent pas. Le symptôme est l’absence de plan commun ; il faut d’abord imposer le plan contenant le point et la droite.
Un dessin fini ne prouve pas le parallélisme. Deux droites presque de même direction peuvent sembler parallèles dans la fenêtre observée tout en se coupant loin du dessin. Dans l’exemple, toute pente m non nulle produit l’intersection d’abscisse −2/m ; il faut comparer les directions ou calculer l’intersection.
Changer d’axiome change la géométrie. Dans une géométrie non euclidienne, il peut ne passer aucune parallèle, ou en passer plusieurs, par un point extérieur. Ce n’est pas une contradiction interne : il faut annoncer le cadre avant d’appliquer une propriété des parallèles.
Indépendant ne signifie pas arbitraire. L’impossibilité de déduire le cinquième postulat des autres n’autorise pas à mélanger leurs conséquences. Une preuve doit conserver le même système d’axiomes du début à la fin.
Pour aller plus loin
Euclide. Situer le mathématicien et les Éléments auxquels appartient le cinquième postulat.
Dans l'œil d'Euclide. Prolonger la lecture par un article consacré à la géométrie d’Euclide.
L'adoption des géométries non euclidiennes. Suivre le passage historique du postulat contesté à l’acceptation de géométries cohérentes alternatives.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres