Histoire et cultureNotion · Glossaire
Playfair John
John Playfair (1748–1819) est un mathématicien, physicien et géologue écossais, professeur à l'université d'Édimbourg. Il a notamment popularisé en géologie la théorie plutonique de James Hutton ; en mathématiques, sa traduction des Éléments d'Euclide (1795) contient une reformulation du cinquième postulat. Dans le plan euclidien, par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule parallèle : cet énoncé est appelé l'axiome de Playfair.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier John Playfair, situer son enseignement à Édimbourg et ses travaux sur Hutton et Euclide.
- Comprendre l'énoncé d'une seule parallèle par un point extérieur.
- Vérifier cet énoncé sur un exemple de coordonnées.
- Savoir pourquoi le cadre euclidien est nécessaire.
En clair
Tracez une droite sur une feuille, puis choisissez un point à côté, sans le placer sur la droite. Par ce point, vous pouvez dessiner une droite qui ne la rencontre jamais : c'est sa parallèle. L'axiome de Playfair affirme qu'une seule droite possède cette propriété.
Cette idée décrit la géométrie euclidienne ordinaire, celle de la feuille plane. Elle reformule le cinquième postulat d'Euclide et porte le nom de John Playfair, qui l'a présentée dans sa traduction des Éléments.
Définition
L'axiome de Playfair est une formulation du postulat des parallèles en géométrie euclidienne. Il concerne une droite donnée et un point qui n'appartient pas à cette droite : par ce point, il existe une droite parallèle à la droite donnée, et il n'en existe qu'une seule.
Si la droite donnée est notée d et le point extérieur P, la droite recherchée passe par P et ne coupe pas d. L'existence décrit la possibilité de tracer cette parallèle ; l'unicité interdit d'en avoir deux distinctes passant par P. Ces deux conditions sont indissociables.
La formulation complète s'écrit ainsi :
Dans le plan euclidien, cela signifie que pour toute droite d et tout point P extérieur à d, une et une seule parallèle à d passe par P. Elle ne décrit donc pas toutes les géométries : sur une sphère, par exemple, les « droites » usuelles se rencontrent et la situation n'est pas la même.
Un exemple, pas à pas
Considérons la droite horizontale d passant par les points A(0, 0) et B(4, 0), ainsi que le point P(1, 3). On cherche la parallèle à d qui passe par P.
Données : A(0, 0), B(4, 0) et P(1, 3). La droite d est horizontale, car ses deux points ont la même ordonnée.
La pente de d vaut (0 − 0) ÷ (4 − 0) = 0.
Une parallèle à d doit avoir la même pente, donc sa pente vaut aussi 0.
La droite de pente 0 passant par P(1, 3) reste à l'ordonnée 3 : elle est donnée par y = 3.
Une parallèle à d doit avoir la même pente, donc sa pente vaut aussi 0.
La droite de pente 0 passant par P(1, 3) reste à l'ordonnée 3 : elle est donnée par y = 3.
Le résultat est la droite horizontale y = 3, parallèle à d. Elle ne rencontre jamais d, située à y = 0. Toute autre droite passant par P et ayant une pente différente quitte cette hauteur et finit par couper d ; le contrôle confirme l'unicité dans ce plan.
En pratique
En géométrie plane, l'axiome sert à reconnaître immédiatement la parallèle passant par un point donné. Avec une règle et une équerre, on reporte la direction de la droite connue jusqu'au point extérieur, puis on vérifie que les deux tracés gardent la même direction.
Dans une démonstration, cette propriété permet de conclure qu'une construction parallèle est déterminée sans ambiguïté. Si le dessin est approximatif, la règle et l'équerre sont préférables à l'œil : deux lignes peuvent sembler parallèles alors que leurs directions diffèrent légèrement.
Pour situer le résultat, on choisit la géométrie euclidienne lorsque le problème porte sur un plan ordinaire. Une géométrie non euclidienne est nécessaire si les règles de rencontre des droites changent.
À ne pas confondre
Le cinquième postulat d'Euclide et l'axiome de Playfair expriment une même idée de la géométrie euclidienne, mais sous des formes différentes. Le critère est le nombre de parallèles par un point extérieur : la formulation de Playfair parle explicitement d'une seule droite, tandis que le postulat original emploie une condition portant sur les angles et l'intersection des droites. Dans le plan euclidien, les deux énoncés sont équivalents.
Une droite parallèle n'est pas une droite simplement éloignée dans un dessin. Le critère testable est l'absence de point commun dans le plan euclidien, avec une direction identique. Deux segments qui semblent parallèles peuvent appartenir à des droites qui se rencontreraient lorsqu'on les prolonge.
Limites et pièges
Le point doit être extérieur à la droite. Si P appartient déjà à d, parler de « parallèle par P » ne fournit pas le cas prévu par l'axiome : la droite d elle-même passe par P, et l'énoncé ne porte pas sur cette situation. Il faut revenir à la condition d'extériorité avant de conclure.
La portée dépend du cadre géométrique. Dans le plan euclidien, une seule parallèle est postulée. Sur une sphère, les grands cercles jouent le rôle des droites usuelles et deux grands cercles distincts se coupent toujours en deux points antipodaux ; dans un autre cadre non euclidien, plusieurs parallèles peuvent apparaître. Il faut donc préciser la géométrie avant d'employer l'axiome.
Enfin, « ne jamais se rencontrer » est une propriété du plan idéal, non une mesure exacte d'un dessin fini. Deux tracés matériels ont une largeur et une précision limitées. Pour contrôler une construction, on compare la direction avec une équerre ou une règle plutôt que de prolonger visuellement les traits.
Pour aller plus loin
L'axiome de Playfair ouvre sur une question centrale : que devient la géométrie si l'on modifie le postulat des parallèles ? La géométrie euclidienne conserve l'unicité annoncée ici ; les géométries non euclidiennes étudient des cadres où cette règle change. Le lecteur peut ainsi distinguer une propriété du plan euclidien d'une vérité valable dans tout espace.
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