GéométrieNotion · Glossaire
Lobachevsky (géométrie de)
La géométrie de Lobachevsky, aussi appelée géométrie hyperbolique, est une géométrie non euclidienne dans laquelle le postulat des parallèles d'Euclide est remplacé par l'axiome qu'il existe par tout point extérieur à une droite au moins deux droites parallèles à celle-ci. Cette géométrie a été développée indépendamment par Lobachevsky et Bolyai au XIXe siècle. Elle peut être modélisée par le demi-plan de Poincaré ou le disque de Poincaré, et joue un rôle central en géométrie différentielle et en physique relativiste.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le changement apporté au postulat des parallèles d'Euclide.
- Lire les droites hyperboliques dans le demi-plan de Poincaré.
- Vérifier sur un exemple exact que deux géodésiques distinctes passent par le même point sans rencontrer la droite donnée.
- Distinguer géométrie hyperbolique, géométrie euclidienne et modèle de Poincaré.
En clair
Imaginez une droite et un point placé à côté. Sur une feuille ordinaire, une seule droite passant par ce point ne rencontre jamais la première. Dans la géométrie de Lobachevsky, plusieurs chemins droits au sens de cette géométrie peuvent passer par le point sans rencontrer la droite donnée.
Le dessin peut sembler courbe dans un modèle de Poincaré. Ce sont pourtant ces chemins, appelés géodésiques, qui y jouent le rôle des droites. Le changement porte donc sur la géométrie elle-même, pas sur une imprécision du tracé.
Définition
La géométrie de Lobachevsky est une géométrie non euclidienne, également nommée géométrie hyperbolique. Elle conserve la notion de droite géométrique, ou géodésique, mais remplace le postulat des parallèles d'Euclide. Étant donnés une géodésique d et un point P qui n'appartient pas à d, il passe par P au moins deux géodésiques qui ne rencontrent pas d. Dans le plan hyperbolique complet, il en passe en fait une infinité.
Le demi-plan de Poincaré représente les points au-dessus d'une droite frontière qui ne fait pas partie du plan. Ses géodésiques sont les demi-droites verticales et les demi-cercles orthogonaux à cette frontière. Le disque de Poincaré donne une autre représentation de la même géométrie. Dans les deux modèles, les angles sont fidèlement représentés, mais les distances et les formes apparentes sont déformées près du bord.
Lobachevsky et Bolyai ont développé cette géométrie indépendamment au XIXe siècle. Elle intervient notamment en géométrie différentielle et en physique relativiste. Selon les conventions, « parallèles » désigne toutes les géodésiques disjointes ou seulement les deux géodésiques limites ; le contenu géométrique doit donc être lu avec la convention annoncée.
Un exemple, pas à pas
Dans le demi-plan de Poincaré, prenons la géodésique verticale d d'abscisse 0 et le point P de coordonnées (2, 2). La frontière a pour ordonnée 0 et n'appartient pas au plan. Considérons deux demi-cercles centrés sur cette frontière : le premier a pour centre (3, 0) et pour rayon √5 ; le second a pour centre (5, 0) et pour rayon √13.
1. Pour le premier cercle, le carré de la distance du centre à P vaut (2 − 3)2 + 22 = 5. Le point P appartient donc au demi-cercle de rayon √5.
2. Pour le second, ce carré vaut (2 − 5)2 + 22 = 13. Le même point appartient au demi-cercle de rayon √13.
2. Pour le second, ce carré vaut (2 − 5)2 + 22 = 13. Le même point appartient au demi-cercle de rayon √13.
3. Les extrémités gauches de ces demi-cercles ont respectivement pour abscisses 3 − √5 et 5 − √13. Ces deux nombres sont strictement positifs : aucun demi-cercle n'atteint donc la géodésique d d'abscisse 0.
4. Les centres et les rayons diffèrent, donc les deux géodésiques sont distinctes.
4. Les centres et les rayons diffèrent, donc les deux géodésiques sont distinctes.
Le contrôle est direct : les deux géodésiques passent par P, restent entièrement à droite de d et ne la rencontrent pas. La construction donne ainsi deux parallèles hyperboliques par le même point extérieur. La figure matérialise ce contrôle sans faire de son bord une droite du plan.
En pratique
Pour dessiner une configuration hyperbolique, on choisit souvent le demi-plan ou le disque de Poincaré. On remplace alors les droites usuelles par les géodésiques du modèle et l'on vérifie leurs rencontres à l'intérieur du domaine, jamais sur sa frontière.
Pour reconnaître le cadre d'un problème, le test décisif porte sur les parallèles. Si une unique parallèle passe par un point extérieur, le cadre est euclidien ; si plusieurs géodésiques disjointes y passent, le cadre est hyperbolique.
En géométrie différentielle et en physique relativiste, cette géométrie fournit un cadre non euclidien. Le choix entre un modèle euclidien et un modèle hyperbolique dépend alors des hypothèses géométriques du problème, et non de l'apparence plane du dessin.
À ne pas confondre
Géométrie euclidienne. Par un point extérieur à une droite, elle admet une seule parallèle. L'existence de deux géodésiques distinctes et disjointes de la droite donnée suffit donc à trancher en faveur du cadre hyperbolique.
Géométrie sphérique. Les grands cercles y jouent le rôle de droites et deux grands cercles se rencontrent. L'absence de parallèle la sépare du cas de Lobachevsky, qui en admet plusieurs par un point extérieur.
Modèle de Poincaré. Le demi-plan et le disque sont des représentations de la géométrie hyperbolique, pas des géométries concurrentes. Deux dessins différents peuvent donc coder les mêmes relations hyperboliques.
Limites et pièges
Le bord n'appartient pas au modèle. Dans le demi-plan ou le disque de Poincaré, deux géodésiques peuvent tendre vers un même point du bord sans se rencontrer dans le plan hyperbolique. Il faut tester l'intersection dans le domaine représenté.
Une géodésique peut paraître courbe. Dans le demi-plan de Poincaré, un demi-cercle orthogonal à la frontière est une droite hyperbolique. Il faut appliquer les règles du modèle au lieu de juger la rectitude à l'œil.
Le mot « parallèle » varie. Certains textes appellent parallèles toutes les géodésiques disjointes ; d'autres réservent ce nom aux deux positions limites. Il faut relever la convention avant de compter les parallèles.
Un dessin fini ne prouve pas une absence d'intersection. Deux tracés peuvent sembler disjoints dans la fenêtre visible et se couper plus loin. Une équation, les extrémités idéales ou une propriété du modèle doit confirmer le constat.
Pour aller plus loin
Euclide permet de replacer le postulat des parallèles dans le cadre auquel la géométrie de Lobachevsky se compare.
Les géodésiques de Mirzakhani prolonge la notion vers l'étude de géodésiques sur des surfaces hyperboliques.
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