Bolyai Janos

En 1832, János Bolyai fait paraître son travail en appendice d’un ouvrage de son père, Farkas Bolyai. Il y change une règle familière de la géométrie : par un point placé hors d’une droite, il envisage une infinité de droites qui ne la rencontrent pas. Dans la terminologie hyperbolique standard, deux sont des parallèles limites et les autres des ultraparallèles.

Ce choix ouvre la géométrie hyperbolique. Il ne s’agit pas d’un dessin approximatif, mais d’un autre cadre géométrique, construit à partir d’une autre règle sur les parallèles.

János Bolyai (1802–1860) est un mathématicien hongrois et le fils du mathématicien Farkas Bolyai. Il poursuit les recherches de son père sur les géométries non euclidiennes. Son apport présenté par la source consiste à développer le cadre où, par un point extérieur à une droite, passent une infinité de droites distinctes qui ne rencontrent pas cette droite. Parmi elles, deux sont des parallèles limites ; les autres sont des ultraparallèles. Cet énoncé constitue l’alternative hyperbolique au postulat euclidien des parallèles.

Le texte paraît en 1832, comme appendice d’un ouvrage de Farkas Bolyai, sous le titre La science absolument vraie de l’espace. Il inaugure la géométrie hyperbolique et traite aussi la quadrature du cercle dans ce cadre. Bolyai y relie cette question au choix du postulat : soit le postulat d’Euclide est vrai, soit la quadrature du cercle devient possible dans la géométrie considérée.

Lobatchevski avait obtenu indépendamment les mêmes résultats dès 1829. Cinquante ans après la publication de Bolyai, la démonstration par Lindemann de la transcendance de π établit l’impossibilité de la quadrature du cercle à la règle et au compas. Bolyai ne publie plus après 1832, mais laisse de nombreux manuscrits. La chronologie permet de distinguer publication, travail indépendant et prolongement ultérieur.

Données. On considère une droite et un point situé à l’extérieur de cette droite. La question porte sur le nombre de droites passant par ce point sans rencontrer la première.

Étape 1. Dans le cadre euclidien, le postulat des parallèles impose une seule droite passant par le point extérieur sans rencontrer la droite donnée : la parallèle.

Étape 2. Dans le cadre développé par Bolyai, une infinité de droites passent par le même point extérieur sans rencontrer la droite donnée. Pour tester ce changement, on considère une deuxième droite distincte passant par ce point et ne rencontrant pas la droite donnée : elle contredit l’unicité imposée dans le cadre euclidien, mais elle est admise dans le cadre hyperbolique. Deux des droites non sécantes sont des parallèles limites ; les autres sont des ultraparallèles.

Étape 3. Le point et la droite de départ ne changent pas. C’est la règle géométrique qui change, et avec elle le nombre de droites admises qui ne rencontrent pas la droite donnée.

Contrôle. Si la réponse retenue est « une infinité de droites ne rencontrant pas la droite donnée », on raisonne dans l’alternative hyperbolique présentée par Bolyai, et non sous le postulat euclidien.

Pour lire un raisonnement géométrique, on commence par repérer la règle adoptée sur les parallèles. Une parallèle unique renvoie au cadre euclidien ; une infinité de droites passant par un point extérieur sans rencontrer la droite donnée renvoie ici au cadre hyperbolique de Bolyai. Parmi ces dernières, seules deux sont des parallèles limites au sens hyperbolique standard.

Pour situer un texte dans l’histoire, on distingue les dates et les supports. Lobatchevski obtient indépendamment les résultats dès 1829 ; Bolyai publie son appendice en 1832 dans l’ouvrage de son père.

Pour suivre la question de la quadrature du cercle, on précise toujours le cadre. L’appendice l’étudie en géométrie hyperbolique, tandis que la transcendance de π tranche l’impossibilité de la construction à la règle et au compas.

János Bolyai et Farkas Bolyai. János est l’auteur du travail de 1832 sur la géométrie hyperbolique ; Farkas est son père, et l’appendice paraît dans un ouvrage de ce dernier. Le prénom et le rôle éditorial tranchent.

Bolyai et Lobatchevski. Ils aboutissent indépendamment aux mêmes résultats, mais la source associe 1829 à Lobatchevski et 1832 à la publication de Bolyai. Une antériorité de publication ne signifie donc pas une collaboration.

Postulat euclidien et alternative hyperbolique. Le premier conduit à une seule droite passant par le point extérieur sans rencontrer la droite donnée ; dans le cadre étudié par Bolyai, il en existe une infinité. Parmi ces dernières, deux sont des parallèles limites et les autres des ultraparallèles. Le nombre de droites non sécantes distingue immédiatement les deux cadres.

Une équivalence à manier avec précaution. La définition source qualifie l’énoncé de Bolyai d’« équivalent au postulat d’Euclide ». Or les conclusions diffèrent : par le point extérieur, une infinité de droites ne rencontrent pas la droite donnée dans le cadre hyperbolique, contre une seule dans le cadre euclidien. Dans la terminologie hyperbolique standard, deux sont des parallèles limites et les autres des ultraparallèles. Il faut donc lire l’énoncé comme l’alternative hyperbolique au postulat des parallèles.

Une inauguration qui n’efface pas l’indépendance. Dire que l’appendice de 1832 inaugure la géométrie hyperbolique ne permet pas d’ignorer Lobatchevski, auquel la source attribue les mêmes résultats dès 1829. Les deux jalons doivent rester distincts.

Deux cadres pour la quadrature. Le résultat de Lindemann concerne l’impossibilité de la quadrature du cercle à la règle et au compas. Il ne faut pas le substituer sans précision à la discussion menée par Bolyai dans le cadre hyperbolique.

Absence de publication, non de travail. Après 1832, Bolyai ne publie plus, mais il laisse une quantité importante de manuscrits. Assimiler silence éditorial et abandon des mathématiques contredirait cette trace.

Bolyai Farkas — Situer le père de János et le cadre éditorial dans lequel paraît l’appendice de 1832.

Lobatchevski Nikolaï — Suivre l’autre développement indépendant de la géométrie hyperbolique, associé dans la source à l’année 1829.

quadrature du cercle — Approfondir le problème de construction que l’appendice de Bolyai relie au choix du cadre géométrique.