Saccheri Giovanni

En 1733, Giovanni Girolamo Saccheri publie un livre au titre combatif : Euclide lavé de toute tache. Il veut défendre le cinquième postulat d’Euclide, celui des parallèles, en supposant qu’il est faux puis en cherchant une contradiction.

Le paradoxe est historique : ses raisonnements l’entraînent vers des géométries cohérentes qu’il ne souhaitait pas construire. Son quadrilatère devient ainsi un outil pour suivre, pas à pas, ce que change l’abandon du postulat des parallèles.

Giovanni Girolamo Saccheri (1667–1733) est un jésuite, prêtre et mathématicien italien né à San Remo. Élève de Tommaso Ceva, il enseigne la philosophie, la théologie et les mathématiques aux universités de Turin et de Pavie. Son ouvrage majeur, Euclides ab omni naevo vindicatus, paraît en 1733.

Saccheri y tente de prouver par l’absurde le cinquième postulat d’Euclide. Il étudie méthodiquement les conséquences de sa négation à l’aide d’un quadrilatère portant aujourd’hui son nom. Dans sa forme canonique, ce quadrilatère possède deux côtés opposés de même longueur, tous deux perpendiculaires à un troisième côté. Les angles situés aux deux autres sommets sont alors comparés selon plusieurs hypothèses. Le schéma associé rend visibles ces seules données de départ ; il ne représente pas à l’échelle une géométrie non euclidienne.

L’entreprise reste inachevée et tombe dans l’oubli. Au milieu du XIX^e siècle, Eugenio Beltrami y reconnaît une exploration précoce de la géométrie non euclidienne. Saccheri est donc un précurseur involontaire : son objectif était de défendre Euclide, non de fonder la géométrie hyperbolique.

On peut suivre la démarche de Saccheri comme une enquête logique. Les données sont le cinquième postulat d’Euclide, sa négation provisoire et le quadrilatère particulier utilisé pour organiser le raisonnement.

1. Supposer que le postulat des parallèles n’est pas valable.
2. Construire le quadrilatère de Saccheri et choisir l’hypothèse où ses deux angles opposés à la base sont aigus.
3. Suivre cette branche : elle conduit à des triangles dont la somme des angles est inférieure à 180°.
4. Contrôler le raisonnement : cette conséquence s’écarte de la géométrie euclidienne, mais ne constitue pas une contradiction. Elle ne permet donc pas de rejeter la négation supposée au départ.

Le contrôle consiste à distinguer le but du résultat : Saccheri voulait retrouver le postulat d’Euclide, mais certains développements ne produisent pas la contradiction attendue. C’est précisément cette exploration qui sera relue, bien plus tard, comme une étape vers les géométries non euclidiennes.

En histoire des mathématiques, Saccheri sert à repérer un basculement : un raisonnement conçu pour défendre Euclide ouvre malgré lui une autre voie. Il faut préférer cette lecture à celle d’une découverte volontaire de la géométrie hyperbolique, car son projet déclaré reste une preuve par l’absurde.

Pour étudier le postulat des parallèles, son quadrilatère organise les conséquences en hypothèses comparables. Ce support est utile lorsque la question porte sur les angles ; une simple chronologie suffit si l’on cherche seulement à situer l’homme et son ouvrage.

Dans une preuve par l’absurde, son parcours rappelle un contrôle essentiel : l’absence de contradiction n’établit pas la proposition que l’on voulait défendre. Il faut examiner ce que les hypothèses permettent réellement de déduire.

Giovanni Saccheri et Giovanni Ceva. Saccheri étudie le postulat des parallèles ; Giovanni Ceva est associé au théorème de Céva. Le lien biographique passe par Tommaso Ceva, professeur de Saccheri et frère de Giovanni Ceva.

Le mathématicien et le quadrilatère de Saccheri. Le premier est une personne née en 1667 ; le second est l’objet géométrique qu’il étudie systématiquement. Une question sur des côtés et des angles vise le quadrilatère, non la biographie.

Somme des angles. Une somme supérieure à 180° ne caractérise pas la géométrie hyperbolique. Dans cette dernière, la somme des angles d’un triangle est strictement inférieure à 180°. Le dépassement mentionné dans la définition source relève donc d’une autre hypothèse non euclidienne et ne doit pas servir de critère pour reconnaître le cas hyperbolique.

Précurseur ne signifie pas fondateur. Saccheri cherche une contradiction afin de défendre le postulat des parallèles. Il faut présenter sa contribution comme une exploration involontaire et inachevée, non comme l’élaboration assumée d’une nouvelle géométrie.

Un schéma euclidien reste un schéma. Dessiner le quadrilatère sur une feuille ordinaire peut donner l’impression que ses angles supérieurs sont droits. Seules les marques de perpendicularité et d’égalité indiquées sont des données ; les autres relations dépendent de l’hypothèse étudiée.

Euclide situe le cadre axiomatique que Saccheri cherchait à défendre et le rôle singulier du postulat des parallèles.

Céva Giovanni distingue le mathématicien du théorème de Céva de Tommaso Ceva, qui fut le professeur de Saccheri.

Dans l’œil d’Euclide prolonge la réflexion sur le regard géométrique hérité d’Euclide.