quadrilatère de Saccheri

Tracez un segment horizontal AB. À chacune de ses extrémités, élevez du même côté de AB un segment perpendiculaire, AC et BD, en leur donnant exactement la même longueur. Reliez enfin C à D : la figure simple obtenue, parcourue dans l'ordre A–B–D–C, est un quadrilatère de Saccheri.

Les angles en A et B sont droits par construction. Toute la question se déplace alors vers les deux angles en C et D : les imposer droits revient à retrouver le comportement familier de la géométrie euclidienne.

Le quadrilatère simple est parcouru dans l'ordre A–B–D–C. Le segment AB est sa base, les segments AC et BD sont les deux côtés égaux, et CD ferme la figure. Les conditions qui le définissent sont AC = BD, C et D du même côté de AB, AC perpendiculaire à AB et BD perpendiculaire à AB. Les angles en A et B sont donc droits. Les angles en C et D, situés à l'autre extrémité des côtés égaux, sont les angles au sommet.

Dans le plan euclidien, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Les points C et D restent alors séparés comme A et B, CD est parallèle à AB et les angles en C et D sont droits : le quadrilatère est un rectangle. Cette conclusion utilise précisément le comportement des parallèles que le 5e postulat encadre ; elle ne peut donc pas servir, à elle seule, de preuve indépendante de ce postulat.

Saccheri (1667-1733) étudia cette construction dans une tentative de démonstration par l'absurde du 5e postulat d'Euclide. La source rattache cette démarche à des travaux antérieurs d'Al-Haytham, d'Al-Khwarizmi et d'Al-Tusi. L'intérêt de la figure tient au point logique qu'elle isole : les conditions de départ fixent les angles de base, mais la nature des angles au sommet dépend du cadre géométrique adopté.

Dans un repère euclidien, prenons A = (0 ; 0), B = (6 ; 0), C = (0 ; 4) et D = (6 ; 4). La base AB mesure 6 unités et les deux côtés AC et BD mesurent chacun 4 unités.

1. Le segment AB est horizontal, tandis que les segments AC et BD sont verticaux. Ils sont donc tous deux perpendiculaires à AB.

2. Les vecteurs allant de C vers A et de C vers D ont pour coordonnées respectives (0 ; −4) et (6 ; 0). Leur produit scalaire vaut $(0)(6)+(-4)(0)=0(0)(6)+(-4)(0)=0$ : l'angle en C est droit.

3. Au point D, les vecteurs allant vers B et vers C ont pour coordonnées (0 ; −4) et (−6 ; 0). Leur produit scalaire vaut également 0, donc l'angle en D est droit.

4. Le contrôle est immédiat : CD mesure 6 unités comme AB, et les quatre angles sont droits. Cet exemple construit bien un quadrilatère de Saccheri euclidien, donc un rectangle ; il vérifie le résultat dans ce repère, mais ne démontre pas que le même résultat découle sans le 5e postulat.

Pour reconnaître la figure, vérifiez d'abord trois données seulement : deux côtés partent des extrémités d'une même base, ils ont la même longueur et ils sont tous deux perpendiculaires à cette base. L'apparence de rectangle ne suffit pas à elle seule.

Pour traiter un exercice dans un repère euclidien, des coordonnées comme celles de l'exemple rendent les égalités de longueurs et les perpendicularités directement contrôlables. Une construction à la règle et à l'équerre convient mieux lorsque l'objectif est de produire la figure sans calcul.

Pour analyser un raisonnement sur les parallèles, repérez le moment où l'on affirme que CD est parallèle à AB ou que les angles en C et D sont droits. Ce passage doit être justifié dans le cadre géométrique considéré ; le dessin ne remplace pas cette justification.

Un quadrilatère de Saccheri n'est pas défini comme un rectangle. Ses deux angles de base sont droits par construction, mais le statut des angles en C et D est justement la question étudiée. Dans l'exemple euclidien, ils sont droits et les deux figures coïncident.

Il ne faut pas non plus le confondre avec un quadrilatère de Lambert. Le quadrilatère de Saccheri est caractérisé ici par deux côtés égaux perpendiculaires à la base ; le quadrilatère de Lambert se reconnaît par trois angles droits donnés. Un rectangle satisfait les deux descriptions, ce qui ne les rend pas équivalentes en général.

Un trapèze isocèle dessiné avec deux côtés égaux n'est pas automatiquement un quadrilatère de Saccheri. Il faut encore contrôler que chacun de ces côtés est perpendiculaire à la même base.

Un dessin réalisé sur une feuille appartient au modèle euclidien. S'il ressemble à un rectangle, ce constat illustre le cas euclidien mais ne prouve pas que les angles en C et D sont nécessairement droits à partir des seules conditions de départ. Il faut examiner les axiomes utilisés dans le raisonnement.

L'exemple par coordonnées suppose lui aussi un repère euclidien et son produit scalaire usuel. Il contrôle exactement une réalisation de base 6 et de côtés 4 ; il ne constitue pas une démonstration valable dans tous les cadres géométriques.

L'égalité AC = BD ne suffit pas. Si l'une des deux perpendicularités à AB manque, la figure sort de la définition, même si elle paraît symétrique. Le bon réflexe consiste à vérifier séparément les deux angles de base.

L'ordre des lettres peut tromper : le contour est A–B–D–C, et non A–B–C–D. Suivre ce second ordre ferait traverser la figure par une diagonale et attribuerait les angles au sommet aux mauvais segments.

Le quadrilatère de Lambert offre une autre construction où les angles droits servent à interroger le rôle du postulat des parallèles.

La notice consacrée à Al-Tûsi prolonge le contexte des travaux antérieurs repris dans la démarche attribuée à Saccheri.